巧解真题 玩转高考—数学 - 图文

斜率是为 . 十五、比较法 现实世界的同类量之间，有相等关系，也有不等关系。两个可以比较大小的量a和b，若a?b?0，a?b?0，a?b?0，则它们分别表示a?b，a?b，a?b，我们把根据两个量的差的正、负或零判断两个量不等或相等的方法叫做差式比较法；当两个量均为正值时，有时我们又可以根据a?1，a?1或abbb?1来判断a?b，a?b，a?b，这个方法叫做商式比较法。这两种方法在数列与函数、不等式交汇问题中应用广泛。 比较法之一（作差法0步骤：作差——变形——定号——结论 （1）作差：对要比较大小的两个数（或式）作差。 （2）变形：常采用配方、因式分解等恒等变形手段，将“差”化成“积”。 （3）定号：就是确定是大于0，还是等于0，还是小于0，最后下结论。 概括为“三步，一结论”，这里的“定号”是目的，“变形”是关键。 注意：若两个正数作差比较有困难，可以把式子灵活变形，通过作商或将它们的平方差来比较大小。 【例1】已知数列?an?中，a1?1，且点P(an,an?1)(n?N*)在直线x?y?1?0上 （1）求?an?的通项公式； （2）若函数f(n)?1n?a?1n?a?...?1(n?N,n?2)，求函数f(n)的12n?an 25 / 59 最小值. 【巧解】（1）?点P(an,an?1)在直线x?y?1?0上，即an?1?an?1且a1?1 ?数列{an}是以1为首项，1为公差的等差数列 ?an?1?(n?1)?1?n ?an?n （2）?f(n)?1n?1?1n?2???12n， f(n?1)?1n?2?1n?3???12n?112n?1?2n?2 ?f(n?1)?f(n)?12n?1?12n?2?1n?1?12n?2?12n?2?1n?1?0 ?f(n)是单调递增的，故f(n)的最小值是f(2)?712 【例2】（Ⅰ）已知函数f(x)??3x2?6x?2.Sn是数列{an}的前n项和，点（n，Sn）（n∈N*），在曲线y?f(x)?2上，求an. （Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，若b1n?()n?1,can?bn2n?6，且Tn是数列{cn}的前n项和.试问Tn是否存在最大值？若存在，请求出Tn的最大值，若不存在，请说明理由. 【巧解】（Ⅰ）点（n，Sn）在曲线y?f(x)?2上，所以sn??3n2?6n. 当n=1时，a1= S1=3，当n≥2时，an= Sn- Sn-1=9-6n， ?an?9?6n. （Ⅱ）?b119?6nn?(2)n?1,cn?6anbn?6(12)n?1?(3?2n)(12)n, ?T?cc1(11n1?1???cn??2)2???(3?2n)(2)n2. 利用错位相减法，?T(2n?1)(1n?2)n?1. ?T?(2n?1)(12)n?0,T1n?1n?1?1?(2n?3)(2)n?1?0, 26 / 59 ?T1(2n?1)(12)nn?T??1, n?1?1(2n?3)(1)n?12?Tn?1?1?Tn?1,?T?1 n?1?Tn???T12.存在最大值T11?2. 巧练一：（2013年，全国卷）若a?ln2,b?ln3,c?ln5235，则 （ ） A．a