2014-2015学年高中数学新课标人教a版选修1-1双基限时练19（第三章）（含答案）

双基限时练(十九)

1．函数y＝2x3－x2的极大值为( ) A．0 27

C．0，16

B．－9 27D.16

1

解析 y′＝6x2－2x，令y′>0，解得x<0，x>3， 1

令y′<0，解得0

∴当x＝0时，取得极大值0，故选A. 答案 A

2．函数y＝1＋3x－x3有( ) A．极小值－1，极大值1 C．极小值－2，极大值2

B．极小值－2，极大值3 D．极小值－1，极大值3

解析 y′＝3－3x2，令y′＝0，得x＝±1， 易判断当x＝1时，有极大值y＝3， 当x＝－1时，有极小值y＝－1.故选D. 答案 D

3．三次函数当x＝1时，有极大值，当x＝3时，有极小值，且函数过原点，则该三次函数为( )

A．y＝x3＋6x2＋9x C．y＝x3－6x2－9x

B．y＝x3－6x2＋9x D．y＝x3＋6x2－9x

解析 当y′＝0时，x＝1，x＝3， 导函数可能为y′＝3(x2－4x＋3)， ∴原函数可能为y＝x3－6x2＋9x. 答案 B

4．已知函数y＝2x3－ax2＋36x－24在x＝2处有极值，则该函数的

一个递增区间是( )

A．(2,3) B．(3，＋∞) C．(2，＋∞)

D．(－∞，3)

解析 y′＝6x2－2ax＋36， ∵x＝2为极值点，

∴当x＝2时，y′＝6×4－2a×2＋36＝0， 解得a＝15，∴y′＝6x2－30x＋36， 令y′＝0，得x＝2，或x＝3， ∴当y′>0时，x<2或x>3， 当y′<0时，2

∴递增区间是(－∞，2)，(3，＋∞)，故选B. 答案 B

5．设a∈R，若函数y＝ex＋ax有大于零的极值点，则(A．a>－1

e B．a>－1 C．a<－1

e

D．a<－1 解析 y′＝ex＋a＝0有解，a＝－ex. 设大于零的极值点为x0，则ex0>1， ∴－ex0<－1，即a<－1. 答案 D

6．函数y＝2x3－15x2＋36x－24的极小值为________．解析 y′＝6x2－30x＋36＝6(x2－5x＋6) ＝6(x－2)(x－3)．

当x<2时，y′>0；当23时，y′>0.∴当x＝3时有极小值．

) ∴极小值为f(3)＝2×33－15×32＋36×3－24＝3. 答案 3

1

7．若函数y＝3x3＋x2＋ax在R上没有极值点，则实数a的取值范围是________．

解析 f′(x)＝x2＋2x＋a， ∵f(x)在R上没有极值点， ∴Δ＝4－4a≤0，∴a≥1. 答案 a≥1

8．若函数f(x)＝x(x－c)2在x＝2处有极大值，则常数c的值为________．

解析 f(x)＝x3－2cx2＋c2x f′(x)＝3x2－4cx＋c2，

∴f′(2)＝c2－8c＋12＝0，c＝2或c＝6. 当c＝2，f′(x)＝3x2－8x＋4＝(3x－2)(x－2)， 2

当32，f′(x)>0， ∴当x＝2时有极小值．

当c＝6时，f′(x)＝3x2－24x＋36＝3(x－2)(x－6)， 当20， ∴当x＝2时有极大值． ∴c＝6符合题意． 答案 6

9．设函数f(x)＝2x3＋3ax2＋3bx＋8c在x＝1及x＝2时取得极值． (1)求a，b的值；

(2)若对于任意的x∈，都有f(x)

解 (1)f′(x)＝6x2＋6ax＋3b.

∵函数f(x)在x＝1及x＝2时取得极值， 则有f′(1)＝0，f′(2)＝0，

???6＋6a＋3b＝0?a＝－3即?解得?. ?24＋12a＋3b＝0???b＝4

(2)由(1)可知，f(x)＝2x3－9x2＋12x＋8c， ∴f′(x)＝6x2－18x＋12＝6(x－1)(x－2)， 当x∈(0,1)时，f′(x)>0； 当x∈(1,2)时，f′(x)<0； 当x∈(2,3)时，f′(x)>0.

∴当x＝1时，f(x)取得极大值，f(1)＝5＋8c. 又f(0)＝8c，f(3)＝9＋8c，

则当x∈时，f(x)的最大值为f (3)＝9＋8c， ∴对于任意的x∈，有f(x)9，

因此，c的取值范围为(－∞，－1)∪(9，＋∞)． 10．已知函数f(x)＝x2＋alnx.

(1)当a＝－2时，求函数f(x)的单调区间和极值；

2

(2)若g(x)＝f(x)＋x在[1，＋∞)上是单调增函数，求实数a的取值范围．

解 (1)由题意知，函数f(x)的定义域为(0，＋∞)． 22?x＋1??x－1?

当a＝－2时， f′(x)＝2x－x＝. x当x变化时，f′(x)和f(x)的值的变化情况如下表：

x (0,1) 1 (1，＋∞)