四年级下册奥数第35讲 容斥问题

第35周 容斥问题

专题简析:

容斥问题涉及一个重要原理一一包含与排除原理，也叫容斥原理。当两个计数部分有重复包含时，为了不重复地计数，应从它们的和中排除重复部分。

容斥原理:对n个事物，如果采用两种不同的分类标准,按性质a分类与性质b分类(如右图所示),那么具有性质a或性质b的事物的个数是Na 十 Nb- Nab。

例1：一个班有48人，班主任在班会上问“谁做完语文作业了?请举手！”有37人举手。又问:“谁做完数学作业了?请举手!”有42人举手。最后问“谁语文、数学作业都没有做完?“没有人举手。求这个班语文、数学作业都完成的人数。

练习一：

1、五年级有122 名学生参加语文、数学考试，每人至少有一门功课取得优秀成绩。其中语文成绩优秀的有65 人，数学成绩优秀的有87 人。语文、数学成绩都优秀的有多少人?

2、四(1)班有54 人，订阅<小学生优秀作文》和(数学大世界)两种读物的有13 人，订《小学生优秀作文》的有45 人，每人至少订种读物。订《数学大世界》》的有多少人?

3、学校文艺组每人至少会演奏一种乐器，已知会拉手风琴的有24人，会弹电子琴的有17人，其中两种乐器都会演奏的有8人。这个文艺组一共有多少人?

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例2：城中小学选出10名学生参加区作文和数学比赛，结果每人都获奖。其中有3人两项比赛都获奖，作文比赛获奖的有5 人,求数学比赛获奖的有多少人?

练习：1、一个班有55 名学生，他们分别订阅了《小学生数学报》和《中国少年报》。其中订阅《小学生数学报》的有32 人,两种报纸都订阅的有15 人,求订阅《中国少年报》的有多少人?

2、四(1)班有40 个学生,有19 人参加了数学和科技两个兴趣小组。其中有11人两个小组都没参加，有25人参加数学小组，求有多少人参加了科技小组?

3、在四年级96 个学生中调查会下中国象棋和围棋的人数。调查结果显示:有78人会下中国象棋，有24 人两样都会，还有12人两样都不会。求会下围棋的有多少人?

例3：某班有56人，参加语文竞赛的有28人，参加数学竞赛的有27人，如果两科都没有参加的有25人，那么同时参加语文、数学两科竞赛的有多少人?

练习：1、一个旅行社有36 人，其中会英语的有24 人,会法语的有18 人,两样都不会的有4 人。问两样都会的有多少人?

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2、一个俱乐部有103 人,其中会下中国象棋的有69 人，会下国际象棋的有52 人,这两种棋都不会下的有12 人。问这两种棋都会下的有多少人?

3、三(1)班参加合唱队的有40人，参加舞蹈队的有20 人，既参加合唱队又参加舞蹈队的有14 人,这两队都没有参加的有10人。请算一算,这个班共有多少人?

例4：在1到100 的自然数中，既不是5 的倍数也不是6 的倍数的数有多少个?

练习：1、在1到200 的全部自然数中，既不是5 的倍数又不是8的倍数的数有多少个?

2、在1到130的全部自然数中，既不是6 的倍数又不是5的倍数的数有多少个?

3、接受采访的100 个小学生中,88 人订阅<中国少年报》，76人订阅《小学生语文报》， 其中仅订阅《中国少年报》的有15 人，则这100 个小学生中仅订阅《小学生语文报》的共有多少人?

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例5：光明小学举办学生书法展览。学校的橱窗里展出了每个年级学生的书法作品，其中有24幅不是五年级的，有22幅不是六年级的,五、六年级参展的书法作品共有10幅,其他年级参展的书法作品共有多少幅?

练习：1、科技节那天，学校的科技室里展出了每个年级学生的科技作品，其中有110件不是一年级的，有100件不是二年级的，一、二年级参展的作品共有32件。其他年级参展的作品共有多少件?

2、六一儿童节那天,学校的画廊里展出了每个年级学生的图画作品,其中有25幅画不是三年级的,有19幅画不是四年级的，三、四年级参展的画共有8幅。其他年级参展的画共有多少幅?

3、实验小学举办学生书法展。学校的橱窗里展出每个年级学生的书法作品,其中有28幅不是五年级的,有24幅不是六年级的，五、六年级参展的书法作品共有20幅。一、二年级参展的作品总数比三、四年级参展作品的总数少4幅。一、二年级参展的书法作品共有多少幅?

课后练习

1、植树节那天，学校每个年级的学生都去郊外义务植树，其中有23棵不是五年级种的，有21棵不是六年级种的，五、六年级种的树共有8棵，其他年级种的树有多少棵?

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