赋值法在函数方程中的应用

赋值法在函数方程中的应用

赋值法是指给定的关于某些变量的一般关系式，赋予恰当的数值或代数式后，通过运算推理，最后得出结论的一种解题方法。下面介绍它在函数方程中的应用。

一、判断函数的奇偶性

例1 若f（x＋y）＝f（x）＋f（y）中令x＝y＝0，得f（0）＝0。

又在f（x＋y）＝f（x）＋f（y）令y＝－x，f（x－x）＝f（x）＋f（－x）， 即f（0）＝f（x）＋f（－x），又f（0）＝0. 所以f（－x）＝－f（x）。

由于f（x）不恒为零，所以f（x）是奇函数。

例2 已知函数y＝f（x）（x∈R，x≠0），对任意非零实数x1x2都有f（x1x2）＝f（x1）＋f（x2），试判断f（x）的奇偶性。

解：取x1＝－1，x2＝1得

，所以f（1）=0 f（－1）= f（－1）＋（1）又取x1=x2=－1，

得f（1）=f（－1）＋f（－1）， 所以f（－1）=0

再取x1=x，x2=－1，则有f（－x）= f（x），即f（－x）=f（x） 因为f（x）为非零函数，所以f（x）为偶函数。

例3．对任意x、y∈R，有（x＋y）＋f（x－y）=2f（x）·f（y），且f（0）≠0，判断f（x）的奇偶性。

解：令x=y=0得f（0）＋f（0）=2f2（0），因为f（0）≠0，所以f（0）=1，又令x=0得f（y）＋f（－y）=2f（y），即f（－y）=f（y）。取x=y，得f（－x）=f（y）.所以函数y=f（x）。

二、讨论函数的单调性

例4． 设f（x）定义于实数集R上，当x＞0时，f（x）＞1，且对任意x，y∈R，有f（x＋y）= f（x）f（y），求证f（x）在R上为增函数。

证明：由f（x＋y）=f（x）f（y）中取x=y=0得f（0）=f2（0）。 若f（0）=0，令x＞0，y=0，则f（x）=0，与f（x）＞1矛盾。 所以f（0）≠0，即有f（0）=1。

当x＞0时，f（x）＞1＞0，当x<0时，f（－x）>1>0，而f(x)?时，f（0）=>0，所以f（x）∈R，f（x）>0。

设x10，f（x2－x1）>1，所以f（x2）= f[x1＋（x2－x1）]=f（x1）·f（x2－x1）>f（x1），所以y=（x）在R上为增函数。

三、求函数的值域

例5 已知函数f（x）在定义域x∈R上是增函数，且满足f（xy）=f（x）＋f（y）（x、y∈R），求f（x）的值域。

解：因为x=y=1时，（1）=2f（1），所以f（1）=0

＋

＋

1?0，又x=0f(?x)又因为（x）在定义域R＋上是增函数，所以x1>x2>0时，令x1=mx2（m>1），则f（x1）－f<（x2）=f（m·x2）－f（x2）=f（m）＋f（x2）－f（x2）=f（m）>0。

得以对于x>1有f（x）>0。

又设x1=mx2>0（0

所以由函数在R＋上递增可得f（x1）－f（x2）<0,即f（mx2）－f（x2）=f（m）＋f（x2）－f（x2）=f（m）<0。所以对于0

＋