最新版2020高中数学人教A版必备5习题：第二章数列 2.4.1

精心整理 提升自我

解∵an+1=2Sn,∴an=2Sn-1(n≥2,n∈N*).

∴当n≥2时,an+1-an=2Sn-2Sn-1=2an. ∴an+1=3an(n≥2,n∈N*).

又a2=2S1=2a1=2,

∴数列{an}从第二项起是等比数列. ∴an=a2·3n-2=2·3n-2(n≥2,n∈N*).

综上,an

-

∈

★

8设数列{an}的前n项和为Sn,已知a1=1,Sn+1=4an+2.

(1)设bn=an+1-2an,证明数列{bn}是等比数列; (2)求数列{an}的通项公式. (1)证明∵a1=1,Sn+1=4an+2,

∴a1+a2=4a1+2,即a2=3a1+2=5, ∴b1=a2-2a1=3.

又当n≥2时,有Sn=4an-1+2, Sn+1-Sn=an+1=4an-4an-1,

∴an+1-2an=2(an-2an-1).

又bn=an+1-2an,∴bn=2bn-1(n≥2).

∴数列{bn}是首项b1=3,公比为2的等比数列.

(2)解由(1)可得bn=an+1-2an=3·2n-1,

∴数列 是首项为 公差为的等差数列,

∴an

- n

·2=(3n-1)·2n-2.

5