最新版2020高中数学人教A版必备5习题：第二章数列 2.4.1

精心整理 提升自我

2.4 等比数列

第1课时 等比数列

课时过关·能力提升

基础巩固

1若等比数列的首项为4,末项为128,公比为2,则这个数列的项数为(

A.4 B.8

C.6

D.32

解析:由等比数列的通项公式,得128=4×2n-1,2n-1=32,所以n=6.

答案:C

2已知等比数列{an}满足a1+a2=3,a2+a3=6,则a7等于 A.64

B.81

C.128

D.243

解析:∵数列{an}为等比数列,设其公比为q,

又a1+a2=3,∴a1=1. 故a7=a1q6=1×26=64. 答案:A

3设a1=2,数列{1+2an}是公比为2的等比数列,则a6等于( ). A.31.5

B.160

C.79.5

D.159.5

解析:∵1+2an=(1+2a1)·2n-1=5·2n-1,

∴1+2a6=5×25, ∴a -

6

答案:C

4在等比数列{an}中,已知a1a2a12=64,则a4a6的值为 A.16

B.24

C.48

D.128

解析:设公比为q,则a1a2a12

所以a1q4=4.所以a4a6=(a1q4)2=16. 答案:A

5若三个正数a,b,c成等比数列,其中a=5+ 则 1

).

((

).

).

精心整理 提升自我

解析:因为a,b,c成等比数列,所以b2=ac,

即b2=(5+ 又b是正数,所以b=1. 答案:1

6在等比数列{an}中,a1 公比 则 解析:an

- -

得

由an

故

答案:4

7在各项均为正数的等比数列{an}中,若a2=1,a8=a6+2a4,则a6的值是 . 答案:4

8一种专门占据内存的计算机病毒开始时占据内存2 KB,然后每3分钟自身复制一次,复制后所占内存是原来的2倍,则开机后 分钟,该病毒占据内存64 MB.(1 MB=210 KB) 解析:经过一次复制占内存22KB,经过两次复制占内存23KB,……经过n次复制占内存2n+1KB.

由2n+1KB=64M=64×210=216KB, 得n=15,即复制15次后占内存64MB. 又每3分钟复制一次,所以需经过45分钟. 答案:45

9已知各项都为正数的数列{an}满足a1=1

(1)求a2,a3;

(2)求{an}的通项公式. 解(1)由题意得a2

(2)由 得2an+1(an+1)=an(an+1).

因为{an}的各项都为正数,所以

故{an}是首项为1,公比为 的等比数列, 因此an

-

2

精心整理 提升自我

10在等比数列{an}中,a1=2,a4=16. (1)求数列{an}的通项公式;

(2)若a3,a5分别为等差数列{bn}的第4项和第16项,试求数列{bn}的前n项和Sn. 解(1)设等比数列{an}的公比为q,

则a4=a1q3=2q3=16,解得q=2. 所以an=a1qn-1=2×2n-1=2n.

(2)由(1)得a3=8,a5=32,则b4=8,b16=32. 设等差数列{bn}的公差为d, 则有 解得

故数列{b -

n}的前n项和Sn=nb1 =2n

-

能力提升

1已知等差数列{an}的公差为3,若a1,a3,a4成等比数列,则a2等于( ). A.9

B.3

C.-3

D.-9

解析:a1=a2-3,a3=a2+3,a4=a2+3×2=a2+6.

由于a1,a3,a4成等比数列,则

所以(a2+3)2=(a2-3)(a2+6),解得a2=-9. 答案:D

2若实数a,b,c成等比数列,则函数f(x)=ax2+bx+c的图象与x轴交点的个数是( ).A.0

B.1

C.2

D.不能确定

解析:∵b2=ac,且a,b,c均不为零,

∴b2-4ac=b2-4b2=-3b2<0. ∴函数f(x)的图象与x轴无交点.

答案:A

3已知在等比数列{a

n}中,各项都是正数,且a1 成等差数列 则

等于 A.1 解析:设等比数列{an}的公比为q,

由于a

1 成等差数列, 则 即a3=a1+2a2,

3

精心整理 提升自我

所以a1q2=a1+2a1q.

由于a1≠0,所以q2=1+2q,解得q=1 又等比数列{an}中各项都是正数, 所以q>0.所以q=1 所以

=3- 答案:D

4已知数列1,a1,a2,9是等差数列,数列1,b1,b2,b3,9是等比数列,则 的值为

解析:∵1,a1,a2,9是等差数列,∴a1+a2=1+9=10.

∵1,b1,b2,b3,9是等比数列,

答案: 5某林场的树木每年以25%的增长率增长,则第10年末的树木总量是今年的 倍. 解析:设这个林场今年的树木总量是m,第n年末的树木总量为an,则an+1=an+an×25%=1.25an,

所以

即数列{an}是公比q=1.25的等比数列. 于是a10=a1q9=1.259m,所以

答案:1.259 ★

6已知a,b,c成等比数列,m,n分别是a,b和b,c的等差中项,则

解析:∵m

答案:2

7数列{an}的前n项和为Sn,a1=1,an+1=2Sn(n∈N*),求数列{an}的通项公式.

4

精心整理 提升自我

解∵an+1=2Sn,∴an=2Sn-1(n≥2,n∈N*).

∴当n≥2时,an+1-an=2Sn-2Sn-1=2an. ∴an+1=3an(n≥2,n∈N*).

又a2=2S1=2a1=2,

∴数列{an}从第二项起是等比数列. ∴an=a2·3n-2=2·3n-2(n≥2,n∈N*).

综上,an

-

∈

★

8设数列{an}的前n项和为Sn,已知a1=1,Sn+1=4an+2.

(1)设bn=an+1-2an,证明数列{bn}是等比数列; (2)求数列{an}的通项公式. (1)证明∵a1=1,Sn+1=4an+2,

∴a1+a2=4a1+2,即a2=3a1+2=5, ∴b1=a2-2a1=3.

又当n≥2时,有Sn=4an-1+2, Sn+1-Sn=an+1=4an-4an-1,

∴an+1-2an=2(an-2an-1).

又bn=an+1-2an,∴bn=2bn-1(n≥2).

∴数列{bn}是首项b1=3,公比为2的等比数列.

(2)解由(1)可得bn=an+1-2an=3·2n-1,

∴数列 是首项为 公差为的等差数列,

∴an

- n

·2=(3n-1)·2n-2.

5