宜兴外国语学校2015-2016学年九年级（上）期末数学复习试卷（三）

【点评】本题主要考查了函数自变量的取值范围、函数图象的画法、函数图象的交点问题，题目新颖，但难度不大．第（3）问体现了化归与转化的数学思想，将方程与函数巧妙地结合在一起，方程的根转化为函数图象交点的横坐标，利用数形结合，将看似抽像的问题变得形像化了，从而使问题解决起来变得容易．

24．0）（2015秋?宜兴市校级期末）已知二次函数y=﹣x2+bx+c的图象与x轴交于B（﹣2，，C（4，0）两点，点E是对称轴l与x轴的交点． （1）求二次函数的表达式；

（2）若在x轴上方的P点为抛物线上的动点，且∠BPC为锐角，直接写出PE的取值范围．（3）T为y轴上一动点，且∠BPC=30°，求T点的坐标．

【考点】二次函数综合题．

【分析】（1）将B、C坐标代入抛物线的解析式中，通过联立方程组即可确定该抛物线的解析式．

（2）此题应该结合圆周角定理来理解，以E为圆心，BC为半径作圆，交抛物线于M、N两点，那么∠BMC=∠BNC=90°，若∠BEC是锐角，那么点E必在M、N之间的函数图象上，当P位于M或N得位置时，PE=3，当P位于抛物线的顶点时，PE的值为抛物线顶点纵坐标，由此可求得PE的取值范围；

（3）先作出等边三角形BCD，再结合圆周角定理来理解，以D为圆心，BC为半径作圆，和y轴交于点T，最后借助矩形的性质和垂径定理即可求出点T的坐标．

【解答】解：（1）∵二次函数y=﹣x2+bx+c的图象与x轴交于B（﹣2，0），C（4，0）两点， ∴

，

∴，

∴二次函数的表达式为y=﹣x2+2x+8， （2）如图，

以E为圆心，BC长为直径作圆，交抛物线于M、N两点； 由圆周角定理知：∠BMC=∠BNC=90°， 此时ME=NE=BC=3；

若∠BPC是锐角，那么点P必在M、N之间的抛物线图象上，故PE＞3； 易知抛物线的顶点坐标为：（1，9），

当点P运动到抛物线的顶点位置时，PE的长最大，且此时PE=9； 综上可知，PE的取值范围为：3＜PE≤9． （3）如图2，

以BC为边在x轴上方作等边三角形，交直线l于点D， 再以点D为圆心BC为半径画圆，交y轴的正半轴于点T， 由圆周角定理知，∠BTC=∠BDC=×60°=30°， 在等边三角形BCD中，BC=6，

∴DE=BC=3，

过点D作DF⊥y轴于F， ∴四边形OEDF是矩形， ∴OF=DE=3

，

，

由垂径定理，得，OT=2OF=6∴T（0，6

），

由对称性可知，T'（0，﹣6），

）或（0，﹣6

）．

即：T为y轴上一动点，且∠BPC=30°时，T点的坐标为（0，6

【点评】此题是二次函数综合题，主要考查了二次函数解析式的确定、圆周角定理、矩形的性质，等边三角形的性质；涉及的知识点较多，综合性强，难度较大，解本题的关键是借助圆周角定理作出辅助线，也是解本题的难点．