模拟试题参考答案

球,分别以X, Y记第一次,第二次取得球上标有的数字,求:

(1) (X, Y)的联合分布； (3) X, Y是否独立； 解

(2) X, Y的边缘分布； (4) E(XY).

220

（1） Y

X 1 2 3 1 0

11 6121112

666113 0

126111（2）P(X?1)?,P(X?2)?,P(X?3)?.

424111P(Y?1)?,P(Y?2)?,P(Y?3)?.

4241?P(X?1)P(Y?1),故X, Y不独（3）因为P(X?1,Y?1)?0?16（4）E(XY)?1?2?立.

11111?1?3??2?1??2?2??2?3? 6126661123?3?1??3?2??.

1266六.(本题12分)

设随机变量X的密度函数为

f(x)?Ax2e?|x| (???x???),

试求:

(1) A的值； (2) P(?1?X?2)； (3) Y?X的密度函数. 解 (1) 因

2?????f(x)dx?2A???0x2e?xdx?4A?1,从而A?1; 4(2) P(?1?X?2)??2?1f(x)dx?102x122?xxedx?xedx ???1044

55?1?e?2?e?1;

24(3) 当y?0时,FY(y)?0;当y?0时,

FY(y)?P(Y?y)?P(X2?y)?P(?y?X?y)

221

?FX(y)?FX(?y),

所以,两边关于y求导可得,

fY(y)?1y?e?4y?12y?1y?e?4y??12y?1y?e?y. 4故Y的密度函数为

0,??fY(y)??1?yy?e,??4七.(本题6分)

y?0,y?0.

某商店负责供应某地区1000人商品,某种产品在一段时间内每人需用一件的概率为0.6.假定在这段时间,各人购买与否彼此无关,问商店应预备多少件这种商品,才能以99.7%的概率保证不会脱销？（假定该商品在某一段时间内每人最多买一件）.

,?0,第i人不购买该种商品解 设Xi??(i?1,2,?,1000),X表示

1,第i人购买该种商品?,0.6).又设商品预备n件该种商品,依购买该种商品的人数,则X~B(1000题意,由中心极限定理可得

P(X?n)?P(X?EXDX?n?EXDX)?P(X?600240?n?600) 240??(查正态分布表得

n?600)?0.997. 240n?600240?2.75,解得n?642.6?643件.

八.(本题10分)

一个罐内装有黑球和白球,黑球数与白球数之比为R. (1) 从罐内任取一球,取得黑球的个数X为总体,即X??求总体X的分布；

(2) 从罐内有放回的抽取一个容量为n的样本X1,X2,?,Xn,其中有

?1，黑球，

?0，白球，m个白球,求比数R的最大似然估计值.

222

解

（1） X 1 0 P R1 1?R1?Rx?R?即P(X?x)???1?R??n?1???1?R??i1?x（2）L(R)?两边取对数,

?P(Xi?1?xi)?Rx (x?0,1); ?1?RxR?i(1?R)n,

lnL(R)?R?xi?nln(1?R),

两边再关于R求导,并令其为0,得

1?0, ?xi?n1?Rxi????n?1. R?从而,又由样本值知,?xi?n?m,故估计值为Rn??xim九.(本题14分)

对两批同类电子元件的电阻进行测试,各抽6件,测得结果如下（单位:?）:

A批:0.140,0.138,0.143,0.141,0.144,0.137； B批:0.135,0.140,0.142,0.136,0.138,0.141. 已知元件电阻服从正态分布,设??0.05,问:

(1) 两批电子元件的电阻的方差是否相等? (2) 两批电子元件的平均电阻是否有显著差异? （t0.025(10)?2.2281,F0.025(5,5)?7.15） 解 (1) H0：?1??2， H1：?1??2. 检验统计量为

2222S12F?2~F(5, 5) （在H0成立时）,

S2由??0.05,查得临界值F?/2?F0.025(5, 5)?7.15,F1??/2?

223

1. 7.15