高数下复习题1及答案

高等数学复习题1

一. 填空题(每小题4分, 共36分)

1.一阶微分方程xy??(1?2x2)y2?0的通解是y=____________.

2.微分方程y???2y??5y?0满足初始条件y(0)?1,y?(0)?3的特解为y=___________. 3.已知?ABC的三个顶点为A?(1,1,1),B(2,3,4),C(4,3,2), 则?ABC的面积S=_______.

?24.已知A?(0,?,1),B(2,??2,0), 则函数u?exsin(yz)在点A处沿方向AB方向

导数

?u|A=_______. ?l5.空间曲线x?f(y),y?g(z)(其中f,g是可微函数)上对应于z?z0点的切线方程是_____________________

x6.设函数f(?)具有二阶连续导数, g(?,?)具有二阶连续偏导数, u?f(xy?z)?g(yz,),

z?2u则=_____________. ?x?z7.二次积分?dx?2e?ydy的值等于______________.

0x2228.某公司生产产品A, 当生产到第x个单位的边际成本是c?(x)?4x?3(万元/单位), 其固定成本是100万元, 则生产量为10单位时的平均成本等于_______(万元/单位). 9.设??{(x,y,z)|x2?y2?z?4?x2?y2, 则?的体积V=________. 10.函数f(x,y,z)?yez?xln(1?z2)在点P(1,1,0)处的梯度gradf(P)________.

二. 选择题(每小题4分, 共32分)

1. 微分方程y???y?ex?1的一个特解应具有形式(式中a,b为常数), ( ) (A)aex?b; (B)axex?b; (C)aex?bx; (D)axex?bx. 2.函数y?f(x,y)在点(x0,y0)处具有偏导数fx(x0,y0), fy(x0,y0)是该函数在点

(x0,y0)可微的( )

(A)充要条件; (B)必要条件; (C)充分条件; (D)既非充分条件也非必要条件.

??????3.已知非零向量a,b满足|a?b|?|a?b|, 则必成立的是 ( )

??????????(A)a?b?a?b; (B)a?b; (C)a?b?0; (D)a?b?0.

4.下列广义积分中收敛的是( ) (A)?e1??e??1111dx; (D)?dx. dx; (B)?dx; (C)?e1xln2xexlnxxlnxxlnx?xy,(x,y)?(0,0)?5*.二元函数f(x,y)??x2?y2在(0,0)点处( )

?(x,y)?(0,0)?0,(A)连续且偏导数存在; (B)连续, 偏导数不存在;

(C)不连续, 偏导数存在; (D)不连续, 偏导数不存在

三. (本题8分) 设函数u?xeyz, 而z?z(x)与z?z(y)分别是由方程ez?xz?1与

ez?zsiny?2所确定, 计算

四. (本题6分)

?u?u,. ?x?y 曲线过点(1,1), 其上任一点与原点的距离平方等于该点横坐标与该点的法线在

x轴上截距的乘积的两倍, 求曲线方程.

11五. (本题6分) 计算数列极限lim(1??5tan2)n.

n??nn

2六. (本题8分)在曲面?:x?y?z?1上作一切平面, 使它与三个坐标面所围成的四面体体积最大, 求切平面方程.

七、(本题8分)设D1是由抛物线y?2x2和直线x?a,x?2及y?0所围成的平面区域,

D2是由抛物线y?2x2和直线y?0,x?a所围成的平面区域, 其中0?a?2. (1)求D1绕x轴旋转而生成的旋转体体积V1(a), 求D2绕x轴旋转而生成的旋转体体积V1(a);

(2)当a取何值时, V1(a)?V2(a)取得最大值? 并求此最大值.

八、设函数f(x)在[0,1]上连续,

?10f(x)dx?2, 证明:

?10f(x)ef(x)dx??101dx?3. f(x)

高等数学复习题1答案

一．填空题（每小题4分，共40分）

1.

12???x 2. 3. 4. 26y?e(cosx?sin2x)3ln|x|?x2?cx?f[g(z0)]y?g(z0)z?z01yx 6. yf???2g2?g21?3g22 ??zzzf?[g(z0)]?g?(z0)g?(z0)18(2?2)8(2?2)? 10. ? 335.

?47. 1?e 8. 33 9.

二．选择题（每小题4分，共32分）：

1.B ;2. B ;3. D;4. A; 5.C;

三．

?u?z?u?z?eyz?xyeyz, ?xzeyz?xyeyz ?x?x?y?y而

?zz?zzcosz?z?z, , ------------------------------------------------（2分 ?xe?x?ye?siny?zxyzeyzyz?e?z, ------------------------------------------------（2分） ?xe?x?zxyzeyzyz, -----------------------------------------(2分) ?xze?z?ye?siny四．曲线在点(x,y)处的法线方程为: Y?y??1(X?x), y?令Y?0, 得曲线在x轴上截距为: X?x?yy?,

22根据题意得: x?y?2x(x?yy?)或 2yy??212y??x, y(1)?1, -------------( 2分) x令z?y,

2dz1?z??x ------------(3分) dxx1??(?)dxxy?z?e(?(?x)e1?(?)dxxdx?c)?x(?x?c), -------------------------------------(3分)

由y(1)?1, 得c?2,

所求曲线为y?x(2?x)或x?y?2x. ----------------------------(1分)

222?(1?x?5tanx)(1) 五．（本题8分）lim?x?0321x21?x3?5tan2x?1exp(lim) -------------（2分） 2x?0?x?exp(?5) -------------------------------------（4分） lim(1?n??112?5tan2)n?e?5 nn六．（本题8分）曲面?在点(x0,y0,z0)处的切平面方程为:

111(x?x0)?(y?y0)?(z?z0)?0 , -------------------------------（2分）, x0y0z0xyz???1, 截距分别为x0,y0,z0, x0y0z0问题为求V?令 L?1xyz在条件x0?y0?z0?1下的最大值, ---------（2分） 61xyz??(x0?y?z0?1), 6?1?Lx?12?1??Ly?12??1?Ly?12??Lz?x??yz???0,x2xxz???01, 解得: x?y?z? ,-----------------------------------------（3分） y2y9xy???0z2zy?z?1?0因为问题的最大值存在,故x?y?z?此时截距为x0?19就是最大值点,

y0?z0?1, 3所求切平面为: x?y?z?

七、V1(a)??1. --------------------------（1分） 34?(32?a5), -------------------------（2分） 5?2a(2x2)2dx?2V2(a)?2??x?2x2dx??a4, -------------------------(2分)

a3设V(a)?V1(a)?V2(a), 令 V?(a)?4?a(1?a)?0, 得唯一驻点: a?1, ----（2分）

当0?a?1时, V?(a)?0; 当1?a?2时, V?(a)?0; 故当a?1时, V(a)?V1(a)?V2(a)取到最大值V(1)?八、

129?. --------------------（2分） 5?10f(x)ef(x)dx??101111f(x)f(x)f(x)dx??f(x)edx??dy???edxdy,

00f(y)Df(y)f(x) 其中D?{(x,y)|0?x?1,0?y?1}, --------------------(2) 又??f(y)e011f(y)dy??101f(y)f(y)edxdy, dx???Df(x)f(x)11f(x)f(x)f(y)f(y)dx???[e?e]dxdy

Df(x)2f(y)f(x)所以?f(x)ef(x)dx??010???eDD1[f(x)?f(y)]2dxdy --------------------(2)

???[1?

填空题解答:

1f(x)?f(y)11111]dxdy?1??f(x)dx?dy??dx?f(y)dy?3. ----------(2)

02202001. xy??(1?2x2)y2?0, 是可分离变量微分方程,

11 分离变量得: y2dy?(2x?)dx, 积分得: ??x2?ln|x|?c,

xy 化简为:

1. 2ln|x|?x?c22. 特征方程: ??2??5?0, 解得: ?1,2 故通解为: y?e?x(cosx?sin2x).

?2?22?4?5???1?2i,

21111|AC?AB|?|{1,2,3}?{3,2,1}|?|{?4,8,?4}|?16?64?16?26. 2222?2?2?14.AB?{2,?2,?1}, cos??,cos??, cos?? ,

3333.S?222?u?u?u|A?2xsin(xy)ex|A?0, ?ycos(yz)ex|A???, |A?zcos(yz)ex|A??1,?x?z?y2?2?12???u?u?u?u?????|Acos??|Acos??|Acos?=0??(?1)?.

3333?l?x?y?z