2019-2020学年人教A版山东省烟台市高一第一学期期末数学试卷 含解析

（2）依题意g（x）＝2sin2x， 方程f（x）+g（x）﹣a＝0在即方程f（x）+g（x）＝a在令＝∵

，∴

，

．

，

，∴

，

上有实数解， 上有实数解．

＝

∴h（x）的值域为所以实数a的取值范围为

21．某学习小组在一次研究性学习中发现，以下三个式子的值都等于同一个常数． cos215°+cos215°﹣

2

2

sin15°sin15°；

；

．

cos80°+cos（﹣50°）﹣cos2170°+cos2（﹣140°）﹣（1）求出这个常数；

（2）结合（1）的结果，将该小组的发现推广为一个三角恒等式，并证明你的结论． 解：（1）由题意，可知

＝＝＝

．

．

（2）由题意推广的结论为：当α+β＝30°时，证明：∵α+β＝30°，∴β＝30°﹣α，则

＝＝＝

＝22．已知函数

（1）求实数k的值；

． 为奇函数．

（2）判断并证明函数f（x）的单调性；

（3）若存在α，β∈（1，+∞），使得函数f（x）在区间[α，β]上的值域为

，求实数m的取值范围．

解：（1）因为函数

为奇函数，所以f（x）+f（﹣x）＝0，

即

所以k2＝1，即k＝±1， 显然k≠﹣1，又当k＝1时，所以k＝1为满足题意的值．

对定义域内任意x恒成立，

的定义域关于原点对称．

（2）结论：f（x）在（﹣∞，1），（1，+∞）上均为增函数． 证明：由（1）知

，其定义域为（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞），

任取x1，x2∈（1，+∞），不妨设x1＜x2， 则

，

因为7（x1﹣1）（x2+1）﹣（x1+1）（x2﹣1）＝2（x1﹣x2）＜0， 所以

，

所以，

即f（x1）＜f（x2），所以f（x）在（1，+∞）上为增函数． 同理，f（x）在（﹣∞，1）上为增函数． （3）由（2）知f（x）在（1，+∞）上为增函数， 又因为函数f（x）在[α，β]上的值域为

，

所以m＞0，且，所以，

即α，β是方程问题等价于方程令

的两实根，

在（1，+∞）上有两个不等实根，

，对称轴

则，

即，解得．

故m的范围（0，）