指数函数、对数函数和幂函数知识点归纳

v1.0 可编辑可修改 一、 幂函数

1、幂的有关概念

an?aa...a(n?N)0 零指数幂：a?1(a?0)

正整数指数幂：负整数指数幂：

a?p?n1(a?0,p?N)ap

分数指数幂：正分数指数幂的意义是：

a?nam(a?0,m,n?N,且n?1)

a?mnmn?1amn?1n负分数指数幂的意义是：2、幂函数的定义

am(a?0,m,n?N,且n?1)

一般地，函数y?x叫做幂函数，其中x是自变量，a是常数(我们只讨论a是有理数

的情况)． 3、幂函数的图象

a幂函数y?xa

111a?,,1,2,3a??2,?1,?322时的图象见上图： 当时的图象见左图；当

由图象可知，对于幂函数而言，它们都具有下列性质：

1

v1.0 可编辑可修改 y?xa有下列性质： (1)a?0时：

①图象都通过点(0,0)，(1,1)；

②在第一象限内，函数值随x的增大而增大，即在(0,??)上是增函数． (2)a?0时：

①图象都通过点(1,1)；

②在第一象限内，函数值随x的增大而减小，即在(0,??)上是减函数； ③在第一象限内，图象向上与y轴无限地接近，向右与x轴无限地接近． (3)任何幂函数的图象与坐标轴至多只有一个交点； (4)任何幂函数图象都不经过第四象限； (5)任何两个幂函数的图象最多有三个交点．

二、指数函数

①定义：函数y?a(a?0,且a?1)称指数函数， 1）函数的定义域为R； 2）函数的值域为(0,??)；

3）当0?a?1时函数为减函数，当a?1时函数为增函数. 4）有两个特殊点：零点(0,1)，不变点(1,a).

5）抽象性质： f(x?y)?f(x)?f(y),f(x?y)?f(x)/f(y)

x三、对数函数

如果ab?N（a?0，a?1），那么b叫做以a为底N的对数，记作logaN?b

ab?N?logaN?b（a?0，a?1，N?0）．

2

v1.0 可编辑可修改 1．对数的性质

loga?MN??logaM?logaN． logaM?logaM?logaN． NN?0，a?0，a?1）logmbn?logaMn?nlogaM．（M?0，anlogab（ a, mb > 0且均不为1）

logmN ( a > 0 , a logma2．换底公式：logaN? 1 ；m?0,m?1)

常用的推论：

（1）logab?logba?1 ；logab?logbc?logca?1 ．

nnNlogab （a、b?0且均不为1）．logmamn（2）logamb?1m?nlogaN?logaN． 1nm（3）loga1?0，logaa?1 （4）对数恒等式alogaN?N．

一、对数函数的图像及性质

① 函数y?logax（a?0，a?1）叫做对数函数

② 对数函数的性质：定义域：(0,??)； 值域：R； 过点(1,0)，即当x?1时，y?0．

当a?0时，在（0，??）上是增函数；当0?a?1时，在（0，??）上是减函数．

yo1x

3

v1.0 可编辑可修改 二、对数函数与指数函数的关系

对数函数y?logax与指数函数y?ax图像关于直线y?x对称． 指数方程和对数方程主要有以下几种类型：

af(x)?b?f(x)?logab,logaf(x)?b?f(x)?ab（定义法）

af(x)?ag(x)?f(x)?g(x),logaf(x)?logag(x)?f(x)?g(x)?0（转化法） af(x)?bg(x)?f(x)logma?g(x)logmb

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取对数法)

(