2006年第21届江苏省初中数学竞赛试卷（初三第2试含答案）

年第21届江苏省初中数学竞赛试卷（初三第2试）

点评：本题考查了三角形的面积与扇形面积的有关计算，解题时要把握好弧、弦、圆心角的关系．

10、设关于x的﹣元二次方程x+2kx+﹣k=0有两个实根，则k的取值范围为

2

或．

考点：根的判别式。

专题：计算题；函数思想。

分析：先计算△=4k﹣4（﹣k）=4k+4k﹣1，由关于x的一元二次方程x+2kx+﹣k=0有两个实根，得△≥0，即4k+4k﹣1≥0；然后利用二次函数的图象解此不等式，解方程4k+4k﹣1=0，得k1=范围．

解答：解：∵关于x的﹣元二次方程x+2kx+﹣k=0有两个实根，

2

2

2

2

2

2

，k2=，因此可得到4k+4k﹣1≥0的解集，这样就得到了所求的k的

2

∴△=4k﹣4（﹣k）=4k+4k﹣1≥0．

22

解方程4k+4k﹣1=0，得k1=

2

，k2=，

所以4k+4k﹣1≥0的解集为k≤

2

或k≥．

所以k的取值范围为k≤或k≥．

故答案为k≤或k≥．

收集者：欧阳川本 第9页

年第21届江苏省初中数学竞赛试卷（初三第2试） 2

点评：本题考查了一元二次方程ax+bx+c=0（a≠0，a，b，c为常数）根的判别式．当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．同时考查了利用二次函数解一元二次不等的方法． 11、如图，△ABC为等边三角形，AD为BC边上的高，且AB=2，则正方形ADEF的面积为 3．

考点：勾股定理。 专题：计算题。

分析：要求正方形ADEF的面积，求边长AD长度即可，在直角△ABD中已知AB=2，BD=1，根据勾股定理求AD即可．

解答：解：在等边三角形AD为BC边上的高，则AD为BC边上的中线， 即D为BC的中点，BD=DC=1，

222

∵AD⊥BC，∴AD+BD=AB， 即AD=

=

，

2

∴正方形ADEF的面积为S=AD=3， 故答案为 3．

点评：本题考查了直角三角形中勾股定理的运用，考查了等边三角形高线即中线的性质，考查了正方形面积的计算，本题中计算AD的长是解题的关键．

12、如图，用红，蓝，黄三色将图中区域A、B、C、D着色，要求有公共边界的相邻区域不能涂相同的颜色．满足恰好A涂蓝色的概率为．

考点：几何概率。 专题：计算题。

分析：首先分析出所有满足条件的涂法，然后找出恰好A涂蓝色的涂法，它们的比值即为所求的概率．

解答：解：要使有公共边界的相邻区域不能涂相同的颜色，

则可有A红、B蓝、C黄、D红；A红、B蓝、C黄、D蓝；A红、B黄、C蓝、D红；A红、B黄、C蓝、D黄共4种情况， 当A涂蓝时，同理也有4种情况， 当A涂黄时也有4种情况， ∴恰好A涂蓝色的概率为

=．

收集者：欧阳川本 第10页

年第21届江苏省初中数学竞赛试卷（初三第2试） 故答案为．

点评：本题考查的是几何概率，关键是不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． 13、如图，在Rt△ABC中，AB=3，BC=4，∠ABC=90°，过B作A1B⊥AC，过A1作A1B1⊥BC，得阴影Rt△A1B1B；再过B1作B1A2⊥AC，过A2作A2B2⊥BC，得阴影Rt△A2B2B1；…如此下去．请猜测这样得到的所有阴影三角形的面积之和为 2

．

考点：勾股定理；相似三角形的判定与性质。 专题：规律型。

分析：根据相似三角形的性质，相似三角形的面积比等于相似比的平方，那么阴影部分面积与空白部分面积之比为16：25，那么所有的阴影部分面积之和可求了． 解答：解：易得△ABA1∽△BA1B1， ∴相似比为A1B：AB=sin∠A=4：5，

那么阴影部分面积与空白部分面积之比为16：25， 同理可得到其他三角形之间也是这个情况， 那么所有的阴影部分面积之和应等于=3×4÷2×

=

．

点评：本题主要考查了相似三角形的性质，相似三角形面积的比等于相似比的平方． 14、在一个3×3的方格表中填有1～9这9个数字，现将每行中数字最大的那个格子涂红色，数字最小的那个格子涂绿色．设M为三个红色方格中数字最小的那个数，m是三个绿色方格中数字最大的那个数，则M﹣m可以有 8 个不同的值． 考点：规律型：数字的变化类。 专题：规律型。

分析：三个红色方格中所填的数都是它们所在行中最大的数．因此它们不可能是1与2．又∵M是三个红色方格中最小的数．所以，它不可能为8与9．即M不可能为1，2，8，9．同理，m也不可能为1，2，8，9．这样M与m都介于3与7之间．因此M﹣m介于3﹣7=﹣4与7﹣3=4之间（包括﹣4与4）． 解答：解：∵因为M与m分别是红色方格与绿色方格中的数，故M﹣m≠0． ∴M﹣m可能有8个不同的值：﹣4，﹣3，﹣2，﹣1，1，2，3，4． 故M﹣m可以有8个不同的值． 故答案为：8．

点评：本题通过3×3的方格表考查了规律型：数字的变化，解题的关键是先得出M与m可能的取值，再依此算出M﹣m可能的取值．

收集者：欧阳川本 第11页

年第21届江苏省初中数学竞赛试卷（初三第2试） 三、解答题（共4小题，满分52分） 15、如图，直线OB是一次函数y=2x的图象，点A的坐标是（0，2），点C在直线OB上且△ACO为等腰三角形，求C点坐标．

考点：一次函数综合题。 专题：分类讨论。

分析：本题要分三种情况进行讨论，

第一种情况：以OA为腰，A为等腰三角形的顶点，那么C点必定在第一象限，且纵坐标的值比A的要大，根据OA=AC我们知道了AC的距离，我们可以根据C的纵坐标和横坐标以及AC的长构成的直角三角形，运用勾股定理以及所在直线的函数关系式求出C的坐标．

第二种情况：以OA为一腰，O为三角形的顶点，那么C点可以有两个，一个在第一象限，一个在第三象限，且这两个点关于原点对称．我们只要求出一个两个就都求出来了，求的方法同第一种情况．

第三种情况：以OA为底，OC，AC为腰，此点在第一象限，那么这点的纵坐标必为1（顶点在底边的垂直平分线上），那么根据所在函数的关系式，可求出这个C点的坐标． 解答：解：若此等腰三角形以OA为一腰，且以A为顶点，则AO=AC1=2．

222

设C1（x，2x），则得x+（2x﹣2）=2， 解得

，得C1（

），

若此等腰三角形以OA为一腰，且以O为顶点，则OC2=OC3=OA=2， 设C2（x′，2x′），则得x′+（2x′）=2，解得

2

2

2

，

∴C2（

），

又由点C3与点C2关于原点对称，得C3（

），

若此等腰三角形以OA为底边，则C4的纵坐标为1，从而其横坐标为，得C4（

），

所以，满足题意的点C有4个，坐标分别为：（），（），

（

），C4（

）．

收集者：欧阳川本 第12页