中考 四边形(矩形 平行四边形 梯形 菱形)专题 数学思想方法 总复习

∴ 是直角三角形,∵ , ,

∴ .

∵ 、 分别是 、 的中点,

∴ 为 的中点,∴ .

2.延长梯形的两腰,使它们交于一点,可得到两个相似三角形或等腰三角形、直角三角形等进一步解决问题．

经典例题3.如图,在梯形

的面积相等．求证：

中, ,

.

,梯形 的面积与梯形

分析：条件是两个梯形的面积相等,而结论是三线段长的平方关系,如果延长两腰交于一点,就可得到三个相似的三角形,再利用相似三角形的面积比与相似比的关系变形就可得出结论．

证明：延长 、 使它们相交于 点,

∵ ,

∴

∴

.

同理,

∵

故得

∴ 此题仅做参考

3.从梯形上底的两端向下底引垂线作高,可以得到一个矩形和两个直角三角形．然后利用构造的直角三角形和矩形解决问题．

经典例题4.如图,在梯形 中,.求证：.

分析:过上底向下底作两高,构造Rt△,然后利用两三角形全等解决问题. 证明：分别过D、C、作AB的垂线,垂足分别为E、F.

∵ ,

∴ .

又 ,

∴ ≌ .

∴

4.平移一条对角线一般是过上底的一个端点作一条对角线的平行线,与另一底的延长线相交,得到一个平行四边形和三角形,把梯形问题转化为平行四边形和三角形问题解决．

经典例题5.如图,等腰梯形高,

是中位线,求证：

中,

．

, ,且 , 是

分析：由梯形中位线性质得 ,欲证 ,只要证

．过

和

移到三角形

点作 ,交 的延长线于 ,就可以把 、

中,再证明等式成立就简单多了．

证明：过 点作 ,

交 的延长线于点 ,则四边形 是平行四边形．∴

∵ 四边形 是等腰梯形,

∴ ,∴

又∵ ,∴ ,

∴ , ∴ .

∵ ,

∴

又∵ ,∴ .

经典例题6.已知：如图,在梯形梯形.

中, .求证：梯形 是等腰

证明：过D作 ,交BA延长线于E.则四边形 是平行四边形.

∴.

∴

又 ,

∴

于是,可得

∴

∴梯形ABCD是等腰梯形.

5.遇到梯形一腰中点的问题可以作出梯形的中位线,中位线与上、下底都平行,且三线段有数量关系. 或利用“等积变形”,连结梯形上底一端点和另一腰中点,并延长与下底延长线交于一点,构成三角形解决问题．

经典例题7.已知：如图4,在梯形证：

.

中, 是 的中点,且 .求

证明：取 的中点F,连结FE.则

∵

,

∴.

∴.

经典例题8.已知：梯形 ABCD中AD BC,E为AB中点,且AD＋BC=DC , 求证：DE⊥EC,DE平分∠ADC,CE平分∠BCD．