江苏省南通中学2015-2016学年高一下学期开学考试数学试题

寒假开学高一数学练习

一、填空题

1. 已知集合M＝{1，m＋2，m2＋4}，且5∈M，则m的值为____________．1或3

sinα－cosα12.如果＝，那么tanα＝____________． 2

3sinα＋cosα7

11π2π2π

3.已知角α(0≤α≤2π)的终边过点?sin，cos?，则α＝____________．6

3??3

4. 设向量a、b满足|a|＝25，b＝(2，1)，且a与b的方向相反，则a的坐标为____________． (－4，－2)

5. 设常数a∈R，集合A＝{x|(x－1)(x－a)≥0}，B＝{x|x≥a－1}．若A∪B＝R，则a的取值范围为______________．(－∞，2]

解析：当a≤1时，A＝{x|x≤a或x≥1}，显然符合A∪B＝R；当a>1时，A＝{x|x≤1或x≥a}，则a－1≤1，∴ a≤2.∴ 1

πππ

6. 已知函数f(x)＝sin(x＋θ)＋3cos(x＋θ)?θ∈?－，??是偶函数，则θ的值为________． 6??22??

πππ

解析：据已知可得f(x)＝2sin?x＋θ＋?，若函数为偶函数，则必有θ＋＝kπ＋(k∈Z)，

323??

πππππ

又由于θ∈?－，?，故有θ＋＝，解得θ＝，经代入检验符合题意．

326?22?3x2－11

－，3? 7. 函数y＝2的值域为____________．??2?x＋28.函数f(x)?asinx?bxcosx?2ctanx?x2 若f(?2)?3，则f(2)? 5 a3x＋a3x

9. 已知a＝2－1，则x－x的值为____________．22－1

a＋a

1

10. 已知函数f(x)对任意的实数满足：f(x＋3)＝－，且当－3≤x<－1时，f(x)＝－(x＋2)2，

f（x）

当－1≤x<3时，f(x)＝x.则f(1)＋f(2)＋f(3)＋?＋f(2 016)＝________．336

11

解析：∵ 对任意x∈R，都有f(x＋3)＝－，∴ f(x＋6)＝f(x＋3＋3)＝－＝－

f（x）f（x＋3）

1

＝f(x)，∴ f(x)是以6为周期的周期函数． 1－

f（x）

∵ 当－3≤x<－1时，f(x)＝－(x＋2)2，当－1≤x<3时，f(x)＝x，∴ f(1)＝1，f(2)＝2，f(3)＝f(－3)＝－1，f(4)＝f(－2)＝0，f(5)＝f(－1)＝－1，f(6)＝f(0)＝0. ∴ f(1)＋f(2)＋?＋f(6)＝1，

∴ f(1)＋f(2)＋?＋f(6)＝f(7)＋f(8)＋?＋f(12)＝?＝f(2 011)＋f(2 012)＋?＋f(2 016)＝1，∴ f(1)

2 016

＋f(2)＋?＋f(2 016)＝1×＝336.

6

1－x??2，x≤0，

11. 设函数f(x)＝?方程f(x)＝x＋a有且只有两个不相等实数根，则实数a的取

?f（x－1），x>0，?

值范围为________．(－∞，4)

解析：作出函数y＝f(x)的图象，由图象可知当a<4时，直线y＝x＋a与函数y＝f(x)的图象恒有两个公共点．

→→?ABAC?→→

＋12. O是平面内一定点，A、B、C是平面内不共线的三个点，动点P满足OP＝OA＋λ?，→→??|AB||AC|?

λ∈[0，＋∞)，则点P的轨迹一定通过△ABC的________心．（填“内”、“外”、“重”、“垂”、“中”）

－

2x

填志愿，更轻松！ 第1页 共7页

→→→→ABACABAC→→

内 解析：是与AB同向的单位向量，是与AC同向的单位向量，故＋是与∠BAC

→→→→|AB||AC||AB||AC|

的角平分线共线的向量，∴ 点P的轨迹一定通过△ABC的内心． 13. 下列命题中，正确的序号是 . ①③④ ①y??2cos(??2x)是奇函数; ②若?,?是第一象限角,且?? ③x??72?,则sin??sin?;

3?是函数y?3sin(2x?3?)的一条对称轴; 84??3? ④函数y?sin(?2x)的单调减区间是[k??,k??](k?Z).488

??x2?2ax;x?17，若方程f(x)?a2，有且仅有两个不等实根，14．已知实数a?0,f(x)??16?log3x,x?1且较大的实根大于3，则实数a的取值范围为 . (47,4]

7二、解答题

15. (本小题满分14分) 如图，设A是单位圆和x轴正半轴的交点，P、Q是单位圆上的两点，

π

O是坐标原点，∠AOP＝，∠AOQ＝α，α∈[0，π)．

6

34?π

，，求cos?α－?的值； (1) 若Q??55?6??

→→

(2) 设函数f(α)＝OP·OQ，求f(α)的值域．

34

解：(1) 由已知可得cosα＝，sinα＝，

55ππ3π34133＋4

∴ cos?α－?＝cosαcos＋sinαsin＝×＋×＝. 665252106??

πππ31→→

(2) f(α)＝OP·OQ＝?cos，sin?·(cosα，sinα)＝cosα＋sinα＝sin?α＋?，

226?3??6?

ππ4ππ33

∵ α∈[0，π)，∴ α＋∈?，?，－＜sin?α＋?≤1，∴ f(α)的值域是?－，1?.

3?323?3???2?

16. (本小题满分14分)已知向量a＝(cosλθ，cos(10－λ)θ)，b＝(sin(10－λ)θ，sinλθ)，λ，θ∈R.

(1) 求|a|2＋|b|2的值； (2) 若a⊥b，求θ；

填志愿，更轻松！ 第2页 共7页

π

(3) 若θ＝，求证：a∥b.

20

(1) 解：因为|a|＝cos2λθ＋cos2[（10－λ）θ]， |b|＝sin2[（10－λ）θ]＋sin2λθ， 所以|a|2＋|b|2＝2. (2) 解：因为a⊥b，

所以cosλθ·sin(10－λ)θ＋cos(10－λ)θ·sinλθ＝0. 所以sin[(10－λ)θ＋λθ]＝0，所以sin10θ＝0，

kπ

所以10θ＝kπ，k∈Z，所以θ＝，k∈Z.

10

π

(3) 证明：因为θ＝，

20

所以cosλθ·sinλθ－cos(10－λ)θ·sin(10－λ)θ

λπλππλππλπ＝cos·sin－cos?－?·sin?－?

2020?220??220?λπλπλπλπ

＝cos·sin－sin·cos＝0，

20202020所以a∥b.

17. (本小题满分14分)已知△OAB的顶点坐标为O(0,0),A(2,9),B(6,?3), 点P的横坐标为14，

????????????????且OP??PB，点Q是边AB上一点,且OQ?AP?0.

(1)求实数?的值与点P的坐标； (2)求点Q的坐标；

????????????(3)若R为线段OQ上的一个动点，试求RO?(RA?RB)的取值范围. ????????????????解：(1)设P(14,y)，则OP?(14,y),PB?(?8,?3?y)，由OP??PB，得

7(14,y)??(?8,?3?y)，解得???,y??7，所以点P(14,?7)。

4???????? (2)设点Q(a,b)，则OQ?(a,b)，又AP?(12,1?6)在边AB上，所以

????????，则由OQ?AP?0，得3a?4b①又点Q12b?3?，即3a?b?15?0② ?4a?6联立①②，解得a?4,b?3，所以点Q(4,3)

????(3)因为R为线段OQ上的一个动点，故设R(4t,3t)，且0?t?1，则RO?(?4t,?3t)，????RA?(2?4t,9?3t)?????R?O(R?A)，

????RB?(6?4t,?3?3t)，

????????RA+RB?(8?8t,6?6t)，则

????R4?B(????20??t58?t8?5?tt????????????0?，故tt(?01RB))的取值范RO?(RA? 填志愿，更轻松！ 第3页 共7页

围为[?25,0]. 2

18．(本小题满分16分) 如图，有一块半径为2的半圆形纸片，计划剪裁成等腰梯形ABCD的形状，它的下底AB是圆O的直径，上底CD的端点在圆周上，设CD＝2x，梯形ABCD的周长为y.

(1) 求出y关于x的函数f(x)的解析式； (2) 求y的最大值，并指出相应的x值．

解：(1) 作OH、DN分别垂直DC、AB交于H、N，连结OD. 由圆的性质，H是中点，设OH＝h，h＝OD2－DH2＝4－x2.

又在直角△AND中，AD＝AN2＋DN2＝（2－x）2＋4－x2＝8－4x ＝22－x，

所以y＝f(x)＝AB＋2AD＋DC＝4＋2x＋42－x，其定义域是(0，2)． (2) 令t＝2－x，则t∈(0，2)，且x＝2－t2，所以y＝4＋2·(2－t2)＋4t＝－2(t－1)2＋10，当t＝1，即x＝1时，y的最大值是10.

2x＋m

19. (本小题满分16分)已知函数f(x)＝x为奇函数．

2－1

(1) 求实数m的值；

(2) 用定义证明函数f(x)在区间(0，＋∞)上为单调减函数；

(3) 若关于x的不等式f(x)＋a＜0对区间[1，3]上的任意实数x都成立，求实数a的取值范围

－

2x＋m2x＋m

(1) 解：∵ f(－x)＝－f(x)，∴ －x＝－x，∴ m＝1.

2－12－1

2x＋12

(2) 证明：f(x)＝x＝1＋x.

2－12－1

2（2x2－2x1）22

设0＜x1＜x2，∵ f(x1)－f(x2)＝－＝，

2x1－12x2－1（2x1－1）（2x2－1）

又1＜2x1＜2x2，2x1－1＞0，2x2－1＞0，2x2－2x1＞0，

2（2x2－2x1）

∴ ＞0，∴ f(x1)＞f(x2)，∴ 函数f(x)在区间(0，＋∞)上为单调减函数． （2x1－1）（2x2－1）

(3) 解：∵ f(x)＋a＜0对区间[1，3]上的任意实数x都成立，∴ a＜－f(x)对区间[1，3]上的任意

2x＋12x＋1

实数x都成立．∵ f(x)＝x在区间(0，＋∞)上为减函数，∴ f(x)＝x在区间[1，3]上为减

2－12－1

函数，∴ f(x)的最大值是f(1)＝3，∴ －f(x)的最小值是－3，∴ a＜－3.

20．(本小题满分16分)

填志愿，更轻松！ 第4页 共7页