高中数学选修2-3组合数的两个性质

组合数的两个性质

一、教学目的：

2 使学生掌握组合数的两个性质及其证明方法，培养学生的逻辑思维能力； 3 使学生能利用组合数的性质进行计算，培养学生的计算能力。 教学过程：

1、 复2、 习提问：

1 组合数公式的两种形式是什么：

2 利用组合数的公式的第二种形式计算 ，根据学生的回答，教师板书如下：

（1） 组合数公式：

ccmn?ppmnmmn(n?1)???(n?m?1)?m!mnn!?m!(n?m)! } (n,m∈N,且m≤N)

二、新课讲授：

4 通过具体的实例，丰富学生对性质1的感性认识，并加以证明，再讲它的应用。

（1） 利用组合数的公式，（2） 考察： c11与c11， c10与c10， c7与c7

的关系，并能发现什么规律？（可以逐个叫学生回答，板书）

927361∵

c11?2911!11?10?9!2!2!，

11?10?c112!， 又

∴c11=

79c211；

10!10?9?8??c107!3!3!∵

10?9?8?c103!又

3∴

c10?c10c7?673；

∵

7!6!1!

又

c7?6171!

∴c7=7。

由不完全归纳可得：从n个不同的元素中取出m 个元素的组合数，等于从n个不同的元素中取出n-m个元素的组合数。即 定理1：cn=

mc1cn?mn，(n,m∈N,且m≤N)

(2)定理1的证明。要证明这个等式成立，即证明两个量相等。那么，证明两个量相等有声么方法呢？（指明学生回答）

方法一：“若两个数都等于第三个数，则这两个数相等 ”。 我们知道，

cmn?n!m!(n?m)!，

cn?mn?n!n!?(n?m)![n?(n?m)]!(n?m)!m!

n!n!(n?m)!m!等于(n?m)!m!。于是可得下面的证明。

显然，

证明：∵

cmn?n!m!(n?m)!，

又

cn?mn?n!n!?(n?m)![n?(n?m)]!(n?m)!m!，

n?m∴

c=cnmn。

（3）性质1的另一种解释：从n个不同的元素中取出m个元素，并成一组，那么，剩下的n-m个元素也成一组；反之，从n个不同的元素中取出n-m个元素并组成一组，那么剩下的m个元素也成一组。所以，它们的组合是一一对应的，故有从n个不同的元素中取出m个的组合数是c等于从 n个不同的元素中取出n-m个元素的组合数

nmcn?mn，即

c=cnmn?mn。

（4）当

79?7m?n22时，利用这个公式，可是cn的计算简化。如：

mc9?c9?c9?c981009?8?361?2，

?c100?2100?99?49501?2。

（5） 注意：当m=n时，公式cn=

cnnmcn?mn变形为

?cn0，

又n=1，所以规定：cn=1即 0！=1 （6）在这样的一组组合数：

cn0c0n，cn，cn??cn，cn，cn

nn12n?2n?1n中，性质1还说明了：与两端等距离的两个组合数相等。如：

c=cn0，cn=cn，cn=cn，??。

1n?12n?2（3）

6 用计算的方法验证下列各式成立，并加以证明。 （1）用计算的方法考察组合数：

4， 7 8与7与4的关系，你能由此发现什么规律吗？（可指明学生回答，板书）

5c3c?c32cc?c5545?4???10c5c51?2∵

32c4?c4?C4?C4?4?6?10∴

3212

c=

553c4?c4332

8?7?6?c8??56c81?2?3∵

7?67?6?5c7?c7?c7?c7?1?2?1?2?3?21?35?56

5423∴8=

规律：若n、,m是自然数，m≤n，则

c5c7?c7m54cn?1?cn?cnmmm?1，（或

mcn?cn?1?cn?1mmm?1）

定理2

(n,m∈N,且m≤N)

（4） 定理2的证明。要证明这个等式，（5）

cn?1?cn?cnmm?1m?1只要根据组合数的公式变形即可。

证明：∵

cn?cn??n!n!?m!(n?m)!(m?1)![n?(m?1)]!

n!(n?1?m)?n!mn!(n?1?m?m)?m!(n?1?m)!m!(n?1?m)!

(n?1)!m?cn?1 m!(n?1?m)!

?∴

cmn?1?c?cnmmm?1n

（3）对于定理2，还可以这样解释：从a1， a2，?.，an?1这n+1个不同的元素中取出m个元素的组合数

cn?1，这些组合可以分成两类：一类含a1，一类不含a1。含a1的组合是从

m?1an?1这n个不同的元素中取出m-1个元素的组合数为cn，a2，?.，不含a1的组合是从a2，?.，an?1这n个不同的元素中取出m个元素的组合数为

cmn。再由加法原理，得：

cmn?1?cn?cnmm?1。

（3）定理2还说明了，把从n+1个不同的元素中取出m个元素的组合数

cmn?1，等于从n

m?1个不同的元素中取出m个元素的组合数n与从n个不同的元素中取出m-1个元素的组合数cn的和。这体现了组合数的可分解性，或组合数的可加性。

3、 课堂练习： 1

计算c3cm198200与

2c399?c992；

2 求c8?c7；

3 利用定理2证明：

c?c?cn?1n?2m?1nmmmn?3?...?cm?1?cm?cnmn?1

mmm?1mm?1mmm?1

?c?cc证明：

n?1mmm?1?cn?1?cn?2?cn?2

?cn?1?cn?2?cn?3?cn?3

??

?c?c?c

n?1n?2mmmn?3?...?cm?1?cmmm

又证：将原式左边的各项写成：