数学：1.3.1《函数的单调性与导数（二）》教案(新人教A版选修2-2)

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1.3.1函数的单调性与导数（二）

一、教学目标：了解可导函数的单调性与其导数的关系.掌握利用导数判断函数单调性的方法. 二、教学重点：利用导数判断一个函数在其定义区间内的单调性.

教学难点：判断复合函数的单调区间及应用；利用导数的符号判断函数的单调性. 三、教学过程 （一）复习

1．确定下列函数的单调区间：

⑴ y＝x－9x＋24x； ⑵ y＝x－x．（4）f (x)＝2x－9x＋12x－3 2．讨论二次函数y＝ax2＋bx＋c (a＞0)的单调区间．

3．在区间(a, b)内f'(x)＞0是f (x)在(a, b)内单调递增的 ( A )

A．充分而不必要条件 B．必要但不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 （二）举例

例1．求下列函数的单调区间 (1) f (x)＝x－lnx(x＞0)； (2)

3

2

3

3

2

f(x)?log(3x?5x?2)

32 (3) y?(2x?1)(1?x).

2（4）f(x)?ln(3x?b) （b>0） （5）判断

f(x)?lg(x?x)的单调性。

2 分三种方法：（定义法）（复合函数）（导数） 例2．（1）求函数

（2）讨论函数

y?13x?312(a?a)x?ax?a2232的单调减区间.

f(x)?bxx?12(?1?x?1,b?0)的单调性.

（3）设函数f (x) = ax – (a + 1) ln (x + 1)，其中a≥–1，求f (x)的单调区间. （1）解：y′ = x2 – (a + a2) x + a3 = (x – a) (x – a2)，令y′＜0得(x – a) (x – a2)＜0. （1）当a＜0时，不等式解集为a＜x＜a2此时函数的单调减区间为(a, a2)； （2）当0＜a＜1时，不等式解集为a2＜x＜a此时函数的单调减区间为(a2, a)； （3）当a＞1时，不等式解集为a＜x＜a2此时函数的单调减区间为(a, a2)；

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（4）a = 0，a = 1时，y′≥0此时，无减区间. 综上所述：

当a＜0或a＞1时的函数y当0＜a＜1时的函数y?13?13x?312(a?a)x?ax?a2232的单调减区间为(a, a2)；

x?312(a?a)x?ax?a2232的单调减区间为(a2, a)；

当a = 0，a = 1时，无减区间. （2）解：∵

f(?x)??bx(?x)?12??bxx?12??f(x)， ∴f (x)在定义域上是奇函数.

在这里，只需讨论f (x)在(0, 1)上的单调性即可. 当0＜x＜1时，f ′ (x) =b(xx?12)??bx?1?x(x?1)?(x?1)2222?bx?2x?1(x?1)2222=?bx?1(x?1)222.

若b＞0，则有f ′ (x)＜0，∴函数f (x)在(0, 1)上是单调递减的； 若b＜0，则有f ′ (x)＞0，∴函数f (x)在(0, 1)上是单调递增的. 由于奇函数在对称的两个区间上有相同的单调性，从而有如下结论： 当b＞0时，函数f (x)在(–1, 1)上是单调递减的； 当b＜0时，函数f (x)在(–1, 1)上是单调递增的. （3）解：由已知得函数f (x)的定义域为 (–1, +∞)，且

f?(x)?ax?1x?1(a≥–1).

（1）当–1≤a≤0时，f ′ (x)＜0，函f (x)在(–1, +∞)上单调递减. （2）当a＞0时，由f ′ (x) = 0，解得xf ′ (x)、f (x)随x的变化情况如下表：

x f ′ (x) f (x) 从上表可知， 当x∈(?1,当x∈(1a1a(?1,1a)?1a.

1a (1a,??) – ↘ 0 极小值 + ↗ (x)＜0，函数)时，f ′f (x)在(?1,1a1a)上单调递减. 上单调递增.

,??)时，f ′(x)＞0，函数f (x)在(,??)综上所述，当–1≤a≤0时，函数f (x)在(–1, +∞)上单调递减； 当a＞0时，函数f (x)在(?1,作业：《习案》作业八。

1a)上单调递减，函数f (x)在(1a,??)上单调递增.

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