2019_2020学年高中数学第2章推理与证明2.3.1数学归纳法2.3.2数学归纳法应用举例讲义新人教B版选修2_2

2.3.1 数学归纳法2.3.2 数学归纳法应用举例

学 习 目 标 核 心 素 养 1．了解数学归纳法的原理．(重点、易混点) 1．通过数学归纳法的学习，培养学生数学抽2．掌握数学归纳法的步骤．(难点) 3．能用数学归纳法证明一些简单的数学命题．(难点) 象、逻辑推理素养. 2．通过利用数学归纳法证明数学命题，提升学生数学运算素养.

数学归纳法 数学归纳法的定义

一个与自然数相关的命题，如果(1)当n取第一个值n0时命题成立；

(2)在假设当n＝k(k∈N＋，且k≥n0)时命题也成立的前提下，推出当n＝k＋1时命题也成立，那么可以断定，这个命题对n取第一个值后面的所有正整数成立．

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1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)与正整数n有关的数学命题的证明只能用数学归纳法．

( ) ( )

(2)数学归纳法的第一步n0的初始值一定为1． (3)数学归纳法的两个步骤缺一不可． ( ) [答案] (1)× (2)× (3)√

2．用数学归纳法证明：首项是a1，公差是d的等差数列的前n项和公式是Sn＝na1＋

n?n－1?

2

d时，假设当n＝k时，公式成立，则Sk＝( )

A．a1＋(k－1)d C．ka1＋

B.

k?a1＋ak?

2

k?k－1?

d

2

D．(k＋1)a1＋

k?k＋1?

d

2

[解析] 假设当n＝k时，公式成立，只需把公式中的n换成k即可，即Sk＝ka1＋

k?k－1?

2

d.

[答案] C

3．下列说法正确的是________．(填序号)

①数学归纳法主要用于研究与正整数有关的数学问题，但并不是所有与正整数有关的问题都能用数学归纳法证明；

②证明当n＝k＋1时命题成立用到归纳假设，即n＝k(k≥n0，k∈N)时命题成立； ③不论是等式还是不等式，用数学归纳法证明时，由n＝k到n＝k＋1时，项数都增加了一项．

[答案] ①②

*

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用数学归纳法证明等式 ?n＋3??n＋4?【例1】 (1)用数学归纳法证明等式1＋2＋3＋…＋(n＋3)＝(n∈N＋)时，第

2一步验证n＝1时，左边应取的项是( )

A．1 C．1＋2＋3

B．1＋2 D．1＋2＋3＋4

n(2)用数学归纳法证明(n＋1)·(n＋2)·…·(n＋n)＝2×1×3×…×(2n－1)(n∈N＋)，“从k到k＋1”左端增乘的代数式为__________．

[解析] (1)当n＝1时，左边应为1＋2＋3＋4，故选D.

(2)令f(n)＝(n＋1)(n＋2)…(n＋n)，则f(k)＝(k＋1)·(k＋2)…(k＋k)，

f(k＋1)＝(k＋2)(k＋3)…(k＋k)(2k＋1)(2k＋2)，所以

＋1)．

[答案] (1)D (2)2(2k＋1)

f?k＋1??2k＋1??2k＋2?

＝＝2(2kf?k?k＋1

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数学归纳法证题的三个关键点

1．验证是基础

找准起点，奠基要稳，有些问题中验证的初始值不一定是1． 2．递推是关键

数学归纳法的实质在于递推，所以从“k”到“k＋1”的过程中，要正确分析式子项数的变化．关键是弄清等式两边的构成规律，弄清由n＝k到n＝k＋1时，等式的两边会增加多少项、增加怎样的项．

3．利用假设是核心

在第二步证明n＝k＋1成立时，一定要利用归纳假设，即必须把归纳假设“n＝k时命题成立”作为条件来导出“n＝k＋1”，在书写f(k＋1)时，一定要把包含f(k)的式子写出来，尤其是f(k)中的最后一项，这是数学归纳法的核心，不用归纳假设的证明就不是数学归纳法．

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