同济大学（高等数学） - 第二章 - 导数与微分

习题2-2

1. 求下列函数的导数.

（1）y?3x2?4x?20； （2）y?x?351??10； 4xx（3）y?5x3?2x?3ex； （4）y?2tanx?secx； （5）y?111??3； （6）y?sinxcosx； xxx（7）y?ex?sinx?cosx?； （8）y?x2lnxcosx； （9）y?lnx1?sinx； （10）y?. x1?sinx2. 求曲线y?2sinx?x2上横坐标为x?0的点处的切线方程和法线方程. 3. 求下列函数的导数.

2（1）y?cos?5?2x?； （2）y?tanx；

??（3）y?sin1?x2； （4）y?lntanx； 2（5）y?ln??ln?lnx???； （6）y?ln?cosx?tanx?； （7）y?e?2x（9）y?e?x2?3x?1； （8）y?sinnxcosnx；

2?x2?2x?3?； （10）y?xesinx；

dy. dx（11）y?lnx?lnx； （12）y?ex1?e2x?arcsinex. 4. 设f?x?为可导函数，求下列函数的导数

3（1）y?fx； （2）y?f?arcsin????1??； x?x（3）y?fe?e??2f?x?； （4）y?xf?lnx?.

25. 求下列函数的二阶导数.

（1）y?2x?cosx； （2）y?e2x?3；

（3）y?xsinx； （4）y?tanx； （5）y?12； （6）y?cosxlnx. 2x?1x6. 求下列函数所指定阶的导数. （1）y?ecosx，求y

?4?； （2）y?sinx，求y21

2?n?.

第3节 隐函数及由参数方程所确定的函数的导数

3.1 隐函数的导数

以解析式y?f?x?的形式确定的函数称为显函数．例如

y?excosx，y?xlnx．

以二元方程F?x,y??0的形式确定的函数称为隐函数．例如

x?y3?1?0，sin?x?y??3x?y?2．

把一个隐函数化成显函数，称为隐函数的显化．例如从方程x?y3?1?0解出

y?3x?1，就把隐函数化成了显函数．但隐函数的显化有时候是困难的，甚至是不可能的．例如方程sin?x?y??3x?y?2所确定的隐函数就难以化成显函数．

但在很多情况下，需要计算隐函数的导数，因此，我们希望找到一种方法，不论隐函数能否显化，都能直接由方程算出它所确定的隐函数的导数．

隐函数求导的基本思想是：把方程F?x,y??0中的y看成自变量x的函数y?x?，结合复合函数求导法，在方程两端同时对x求导数，然后整理变形解出y?即可．y?的结果中可同时含有x和y．若将y看成自变量，同理可求出x?．

例1 求由方程y?ln?x?y?所确定的隐函数的导数y?． 解 方程两端对x求导，得

y??从而

111?y?， ?x?y???x?yx?y??y??y1．

x?y?1例2 求由方程e?xy?e?0所确定的隐函数的导数y?． 解 方程两端对x求导，得

ey?y??y?x?y??0，

从而

y???yx?ey?x?e22

y?0?．

x2y2??1上点1,2处的切线方程和法线方程． 例3 求椭圆曲线24??解 方程两端对x求导，得x?12xy?y??0，故y???．从而，切线斜率k1和法线2y斜率k2分别为

12． k1?y??1,2???2，k2???k12所求切线方程为

y?2??2?x?1?，

即

y??2x?22．

法线方程为

y?2?即

2?x?1?， 2y?22． x?221d2y例4 求由方程x?y?siny?0所确定的隐函数的二阶导数2．

2dx解 方程两端对x求导，得

1?从而

dy1dy?cosy?0， dx2dxdy2?． dx2?cosy上式两端再对x求导，得

dydydx??4siny． ?3dx2?2?cosy?2?2?cosy?2?2siny3.2 对数求导法

对于以下两类函数：

（1）幂指函数，即形如y?u?x?v?x??u?x??0?的函数．

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（2）函数表达式是由多个因式的积、商、幂构成的． 要求它们的导数，可以先对函数式两边取自然对数，利用对数的运算性质对函数式进行化简，然后利用隐函数求导法求导，这种方法称为对数求导法．

例5 设y??lnx?cosx?x?1?，求y?．

lny?cosx?ln?lnx?，

解 函数两端取自然对数，得

两端分别对x求导，得

y?11??sinx?ln?lnx??cosx??， ylnxx所以

11?cosx?cosx??y??y??sinx?ln?lnx??cosx?????lnx???sinx?ln?lnx??．

lnxx???xlnx?x?1?3x?1?例6 设y?，求y?． 2x?x?4?e解 先在函数两端取绝对值后再取自然对数，得

1lny?lnx?1?lnx?1?2lnx?4?x，

3两端分别对x求导，得

y?112????1， yx?13?x?1?x?4即

?x?1?3x?1?1?12y?????1?． 2x??x?4?e?x?13?x?1?x?4? 容易验证，例6中的解法，若省略取绝对值这一步所得的结果是相同的，因此，在使用对数求导法时，常省略取绝对值的步骤．

3.3 由参数方程所确定的函数的导数 一般地，若参数方程

??x???t? ???y???t?确定了y与x之间的函数关系，则称此函数为由参数方程所确定的函数．

??x???t?定理1 设参数方程?，其中??t?,??t?均可导，且函数x???t?严格单调，

y??t???????t??0，则有

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