2019年高考数学(理科)二轮复习教案提能三数列的创新考法与学科素养Word版含解析

数列的创新考法与学科素养

授课提示：对应学生用书第33页

提分策略一 探究命题情景应用能力

此类问题多以新定义、新运算或实际问题为背景考查数列的有关计算问题．

(2017·高考全国卷Ⅰ)几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软

件．为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动．这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列1,1,2,1,2,4,1,2,4,8,1,2,4,8,16，…，其中第一项是20，接下来的两项是20,21，再接下来的三项是20,21,22，依此类推．求满足如下条件的最小整数N：N＞100且该数列的前N项和为2的整数幂．那么该款软件的激活码是( )

A．440 C．220

B．330 D．110

解析：设第一项为第1组，接下来的两项为第2组，再接下来的三项为第3组，依此类n?n＋1?

推，则第n组的项数为n，前n组的项数和为.

2

n?n＋1?

由题意可知，N＞100，令＞100，

2得n≥14，n∈N*，即N出现在第13组之后．

1－2nn2?1－2n?

易得第n组的所有项的和为＝2－1，前n组的所有项的和为－n＝2n＋1－n

1－21－2－2.

设满足条件的N在第k＋1(k∈N*，k≥13)组，且第N项为第k＋1组的第t(t∈N*)个数， 若要使前N项和为2的整数幂，则第k＋1组的前t项的和2t－1应与－2－k互为相反数，

即2t－1＝k＋2，∴2t＝k＋3，∴t＝log2(k＋3)，

13×?13＋1?

∴当t＝4，k＝13时，N＝＋4＝95＜100，不满足题意；当t＝5，k＝29时，

229×?29＋1?N＝＋5＝440；当t＞5时，N＞440，故选A.

2

答案：A

点评 本题以软件激活码为背景考查了学生利用逻辑推理分析问题解决新问题的能力，实质上考查了数列求和的应用．

[对点训练]

11

若数列{an}满足－＝d(n∈N*，d为常数)，则称数列{an}为“调和数列”，已知

an＋1an

1

正项数列{}为“调和数列”，且b1＋b2＋…＋b2019＝20190，则b2b2018的最大值是________．

bn

1

解析：因为数列{}是“调和数列”，所以bn＋1－bn＝d，

bn即数列{bn}是等差数列，

2019?b1＋b2019?2019?b2＋b2018?

所以b1＋b2＋…＋b2019＝＝＝20190，

22所以b2＋b2018＝20.

1

又＞0，所以b2＞0，b2018＞0， bn所以b2＋b2018＝20≥2b2b2018，

即b2b2018≤100(当且仅当b2＝b2018时等号成立)，因此b2b2018的最大值为100. 答案：100

提分策略二 引入数学文化考核心素养

(2017·高考全国卷Ⅱ)我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍

巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯( )

A．1盏 C．5盏

B．3盏 D．9盏

解析：每层塔所挂的灯数从上到下构成等比数列，记为{an}，则前7项的和S7＝381，a1?1－27?

公比q＝2，依题意，得S7＝＝381，解得a1＝3.

1－2

答案：B

点评 本例以古代传统文化为背景，考查了与等差数列的通项及前n项和有关的计算问题．

[对点训练]

1．(2018·衡水中学调研)今有良马与驽马发长安至齐，齐去长安一千一百二十五里，良马初日行一百零三里，日增十三里；驽马初日行九十七里，日减半里；良马先至齐，复还迎驽马，问：几日相逢？( )

A．12日 C．8日

B．16日 D．9日

解析：由题易知良马每日所行里数构成一等差数列，其通项公式为an＝103＋13(n－1)11＝13n＋90，驽马每日所行里数也构成一等差数列，其通项公式为bn＝97－(n－1)＝－n＋

22n?a1＋an?n?b1＋bn?195

，二马相逢时所走路程之和为2×1125＝2250，所以＋＝2250，即2221195

n?97－n＋?n?103＋13n＋90?22＋＝2250，化简得n2＋31n－360＝0，解得n＝9或n＝－40(舍

22去)，故选D.

答案：D

2．传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上画点或用小石子表示数．他们研究过如图所示的三角形数：

将三角形数1,3,6,10，…记为数列{an}，将可被5整除的三角形数按从小到大的顺序组成一个新数列{bn}，可以推测：

(1)b2012是数列{an}中的第________项； (2)b2k－1＝________(用k表示)．

n?n＋1?解析：由题意可得an＝1＋2＋3＋…＋n＝，n∈N*，故b1＝a4，b2＝a5，b3＝a9，

2

5k?5k＋1?

b4＝a10，b5＝a14，b6＝a15，由上述规律可知：b2k＝a5k＝(k为正整数)，b2k－1＝a5k－

2?5k－1??5k－1＋1?5k?5k－1?＝＝， 1

22

故b2012＝b2×1006＝a5×1006＝a5030，即b2012是数列{an}中的第5030项． 5k?5k－1?答案：(1)5030 (2) 2

提分策略三 引入临界知识考学科潜力

高等数学背景型临界问题

对于一切实数x，令[x]为不大于x的最大整数，则函数f(x)＝[x]称为高斯函数

n

或取整函数．若an＝f()，n∈N*，Sn为数列{an}的前n项和，则S3n＝( )

3

31A.n2－n 22C．3n2－2n

31

B.n2＋n 2293D.n2－n 22

n?n

解析：由题意，当n＝3k，n＝3k＋1，n＝3k＋2时均有an＝f()＝?＝k，所以S3n＝0

3?3?1＋n－13

＋0＋1＋1＋1＋2＋2＋2＋…＋(n－1)＋(n－1)＋(n－1?＋n＝3××(n－1)＋n＝

223个3个3个1

n2－n.

2

答案：A

点评 本题以高斯函数为背景考查数列求和问题．

[对点训练]

设无穷数列{an}，如果存在常数A，对于任意给定的正数ε(无论多小)，总存在正整数N，使得n＞N时，恒有|an－A|＜ε成立，则称数列{an}的极限为A.给出下列四个无穷数列：

①

{(

－

1)n×2}

；

②

111?1?

??＋＋＋…＋?2n－1??2n＋1???1×33×55×7

；

③

1111??

?1＋＋2＋3＋…＋n－1?；④{1×2＋2×22＋3×23＋…＋n×2n}．

2222??

其中极限为2的数列的个数为( )