九年级数学 动点型问题

1.所谓“动点型问题”是指： 2.一般方法是：

第一、抓住变化中的___________，以不变应万变，首先根据题意理清题目中两个变量X、Y的变化情况并找出相关常量，

第二，按照图形中的几何性质及相互关系，找出一个基本关系式，把__________________________表达出来，然后再根据题目的要求，依据几何、代数知识解出。

第三，确定________________，画出相应的图象。

3.数学思想：__________________________________________________. 巩固练习：

1.如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AD=24cm，AB=8cm，BC=26cm，动点P从A开始沿AD边向D以1cm/s的速度运动；动点Q从点C开始沿CB边向B以3cm/s的速度运动．P、Q分别从点A、C同时出发，当其中一点到达端点时，另外一点也随之停止运动，设运动时间为ts．

（1）当t为何值时，四边形PQCD为平行四边形？ （2）当t为何值时，四边形PQCD为等腰梯形？ （3）当t为何值时，四边形PQCD为直角梯形？

2. 如图，△ABC中，点O为AC边上的一个动点，过点O作直线MN∥BC，设MN交∠BCA的外角平分线CF于点F，交∠ACB内角平分线CE于E． （1）试说明EO=FO；

（2）当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形并证明你的结论；

（3）若AC边上存在点O，使四边形AECF是正方形，猜想△ABC的形状并证明你的结论。

附答案： 内容再现答案

1.题设图形中存在一个或多个动点,它们在线段、射线或弧线上运动的一类开放性题目.解决这类问题的关键是动中求静,灵活运用有关数学知识解决问题.

2.“不变量”；相关的量用一个自变量的表达式； 自变量的取值范围。 3. 分类思想 函数思想 方程思想 数形结合思想 转化思想 巩固练习答案：

解析：

（1）四边形PQCD为平行四边形时PD=CQ． （2）四边形PQCD为等腰梯形时QC-PD=2CE． （3）四边形PQCD为直角梯形时QC-PD=EC．

所有的关系式都可用含有t的方程来表示，即此题只要解三个方程即可． 解：（1）∵四边形PQCD平行为四边形 ∴PD=CQ

∴24-t=3t

解得：t=6

即当t=6时，四边形PQCD平行为四边形． （2）过D作DE⊥BC于E 则四边形ABED为矩形 ∴BE=AD=24cm ∴EC=BC-BE=2cm

∵四边形PQCD为等腰梯形 ∴QC-PD=2CE

即3t-（24-t）=4 解得：t=7（s）

即当t=7（s）时，四边形PQCD为等腰梯形． （3）由题意知：QC-PD=EC时，

四边形PQCD为直角梯形即3t-（24-t）=2

解得：t=6.5（s）

即当t=6.5（s）时，四边形PQCD为直角梯形． 2. 解析：

（1）根据CE平分∠ACB，MN∥BC，找到相等的角，即∠OEC=∠ECB，再根据等边对等

角得OE=OC，同理OC=OF，可得EO=FO．

（2）利用矩形的判定解答，即有一个内角是直角的平行四边形是矩形． （3）利用已知条件及正方形的性质解答． 解：（1）∵CE平分∠ACB，

∴∠ACE=∠BCE， ∵MN∥BC，

∴∠OEC=∠ECB， ∴∠OEC=∠OCE， ∴OE=OC， 同理，OC=OF， ∴OE=OF．

（2）当点O运动到AC中点处时，四边形AECF是矩形．

如图AO=CO，EO=FO，

∴四边形AECF为平行四边形， ∵CE平分∠ACB，

∴∠ACE=

1∠ACB， 21∠ACG， 211（∠ACB+∠ACG）=×180°=90°， 22同理，∠ACF=

∴∠ECF=∠ACE+∠ACF=

∴四边形AECF是矩形．

（3）△ABC是直角三角形

∵四边形AECF是正方形， ∴AC⊥EN，故∠AOM=90°， ∵MN∥BC，

∴∠BCA=∠AOM， ∴∠BCA=90°，

∴△ABC是直角三角形．

三、知识点梳理

注重对几何图形运动变化能力的考查

从变换的角度和运动变化来研究三角形、四边形、函数图像等图形，通过“对称、动点的运动”等研究手段和方法，来探索与发现图形性质及图形变化，在解题过程中渗透空间观念和合情推理。选择基本的几何图形，让学生经历探索的过程，以能力立意，考查学生的自主探究能力，促进培养学生解决问题的能力．图形在动点的运动过程中观察图形的变化情况，需要理解图形在不同位置的情况，才能做好计算推理的过程。在变化中找到不变的性质是解决数学“动点”探究题的基本思路,这也是动态几何数学问题中最核心的数学本质。 四、讲练结合

1.建立动点问题的函数解析式

函数揭示了运动变化过程中量与量之间的变化规律,是初中数学的重要内容.动点问题反映的是一种函数思想,由于某一个点或某图形的有条件地运动变化,引起未知量与已知量间的一种变化关系,这种变化关系就是动点问题中的函数关系.那么,我们怎样建立这种函数解析式呢?下面结合中考试题举例分析。

（1）运用勾股定理建立函数解析式

【例1】如图1,在半径为6,圆心角为90°的扇形OAB的弧AB上，有一个动点P,PH⊥OA,垂足为H,△OPH的重心为G.

(1)当点P在弧AB上运动时,线段GO、GP、GH中,有无长度保持不变的线段?如果有,请指出这样的线段,并求出相应的长度；

(2)设PH?x,GP?y,求y关于x的函数解析式，并写出函数的定义域(即自变量x的

取值范围)；

(3)如果△PGH是等腰三角形,试求出线段PH的长。

B P

y N x

G

O M H A

图1

【同步练习】1. 如图2，在△ABC中,AB=AC=1,点D,E在直线BC上运动.设BD=x,CE=y. (1)如果∠BAC=30°，∠DAE=105°，试确定y与x之间的函数解析式；

(2)如果∠BAC的度数为?，∠DAE的度数为?，当?，?满足怎样的关系式时，(1)

中y与x之间的函数解析式还成立？试说明理由。

（2）运用求图形面积的方法建立函数解析式

A

D B 图2

C

E 【例2】如图3,在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC=22,⊙A的半径为1.若点O在BC边上运

动(与点B、C不重合),设BO=x,△AOC的面积为y. (1)求y关于x的函数解析式,并写出函数的定义域； (2)以点O为圆心,BO长为半径作圆O,求当⊙O与⊙A相切时, △AOC的面积。

C

A B O H 图3