高中数学必修4三角函数的图像与性质

三角函数的图像和性质

课 题 学情分析 三角函数的图像和性质 三角函数的图象与性质是三角函数的重要内容，学生刚刚刚学到，对好多概念还 不很清楚，理解也不够透彻，需要及时加强巩固。 1．掌握三角函数的图象及其性质在图象交换中的应用； 教学目标与 2．掌握三角函数的图象及其性质在解决三角函数的求值、求参、求最值、求值域、 考点分析 求单调区间等问题中的应用． 教学重点 教学方法 三角函数图象与性质的应用是本节课的重点。 导入法、讲授法、归纳总结法 基础梳理 1．“五点法”描图

(1)y＝sin x的图象在[0,2π]上的五个关键点的坐标为

3?,?1)(0,0)，(,1)，(π，0)，2，(2π，0)．

2?((2)y＝cos x的图象在[0,2π]上的五个关键点的坐标为

?3?(0,1)，(,0)，(π，－1)，(,0)，(2π，1)．

222．三角函数的图象和性质 函数 性质 定义域 y＝sin x y＝cos x y＝tan x R R π{x|x≠kπ＋2，k∈Z} 图象 值域 [－1,1] [－1,1] R --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- １

对称性 π对称轴：x＝kπ(k∈Z) 对称轴：x＝kπ＋2(k∈Z) 对称中心： 对称中心： ?(k??,0)k?Z (kπ，0)(k∈Z) 22π 2π 无对称轴 对称中心： (k?,0)k?Z 2周期 π 单调增区间 [2k???2单调性 [2k?? ,2k??]k?Z；[2kπ－π，2kπ](k∈Z)； 2单调减区间 ?单调增区间 单调增区间 (k??单调减区间 ?,k??)k?Z 22??2,2k??3?[2kπ，2kπ＋π](k∈Z) ]k?Z 2奇偶性 两条性质 (1)周期性

奇 偶 奇 2π函数y＝Asin(ωx＋φ)和y＝Acos(ωx＋φ)的最小正周期为|ω|，y＝tan(ωx＋φ)的最小正周π期为|ω|. (2)奇偶性

三角函数中奇函数一般可化为y＝Asin ωx或y＝Atan ωx，而偶函数一般可化为y＝Acos ωx＋b的形式． 三种方法

求三角函数值域(最值)的方法： (1)利用sin x、cos x的有界性； (2)形式复杂的函数应化为y＝Asin(ωx＋φ)＋k的形式逐步分析ωx＋φ的范围，根据正弦函数单调性写出函数的值域；

(3)换元法：把sin x或cos x看作一个整体，可化为求函数在区间上的值域(最值)问题．

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- ２

双基自测

1．函数y?cos(x?)，x∈R( )．

3A．是奇函数 B．是偶函数

C．既不是奇函数也不是偶函数 D．既是奇函数又是偶函数

y?tan(?x)2．函数的定义域为( )． 4??A．

{x|x?k???4,k?Z} B．{x|x?2k??D．{x|x?2k???4,k?Z} ,k?Z}

C．{x|x?k???4,k?Z}

?43．y?sin(x?)的图象的一个对称中心是( )．

4A．(－π，0) C．(3?,0) 2?B．(?3?,0) 4D．(,0)

2?4．函数f(x)＝cos(2x?)的最小正周期为________．

6考向一 三角函数的周期

【例1】?求下列函数的周期：

??y?sin(?x)y?tan(3x?) (1)；(2)326

考向二 三角函数的定义域与值域

(1)求三角函数的定义域实际上是解简单的三角不等式，常借助三角函数线或三角函数图象来求解．

(2)求解三角函数的值域(最值)常见到以下几种类型的题目：

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- ３

??①形如y＝asin2x＋bsin x＋c的三角函数，可先设sin x＝t，化为关于t的二次函数求值域(最值)；

②形如y＝asin xcos x＋b(sin x±cos x)＋c的三角函数，可先设t＝sin x±cos x，化为关于t的二次函数求值域(最值)．

【例2】?(1)求函数y＝lg sin 2x＋9－x2的定义域． (2)求函数y＝cos2x＋sin x(|x|?

【训练2】 (1)求函数y＝sin x－cos x的定义域；

tan(x?)sinx4y?(2)lg(2cosx?1) 的定义域

?4)的最大值与最小值．

? (3)已知f(x)的定义域为[0,1]，求f(cosx)的定义域.

考向三 三角函数的单调性

求形如y＝Asin(ωx＋φ)＋k的单调区间时，只需把ωx＋φ看作一个整体代入y＝sin x的相应单调区间内即可，若ω为负则要先把ω化为正数． 【例3】?求下列函数的单调递增区间．

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