第2章 §2.4 导集，闭集，闭包

定理证明完成．

总结：（1）有限个开集的交是开集，任意个开集的并是开集．其余情形不一定． （2）有限个闭集的并是闭集，任意个闭集的交是闭集．其余情形不一定． 定义2.4.3 设X是一个拓扑空间,AA的闭包,记作

或

X,集合A与A的导集d(A)的并A∪d(A)称为集合

容易看出,(注意:与x∈d(A)的区别)

定理2.4.4 拓扑空间X的子集A是闭集的充要条件是A= 证明:定理成立是因为:集合A为闭集当且仅当d(A)

A而这又当且仅当A=A∪d(A)

定理2.4.5 设X是一个拓扑空间,则对于任意A,B∈X,有：

证明（1）成立是由于是闭集．

（2）成立是根据闭包的定义． （3）成立是因为

（4）成立是因为

＝A∪d（A）∪d（d（A))

＝A∪d（A）=

在第（3）条和第（4）条的证明过程中我们分别用到了定理 2.4.l中的第（3）条和第（4）条．

定理2.4.6 拓扑空间X的任何一个子集A的闭包 证明根据定理2.4.4和定理2.4.5（4）直接推得．

都是闭集．

定理2.4.7 设X是一个拓扑空间，F是由空间X中所有的闭某构成的族，则对于X的每一个子集A，有

即集合A的闭包等于包含A的所有闭集之交．

证明 因为A包含于2.4.5(4)与定理2.4.4

，而后者是一个闭集，由定理

有

另一方面，由于是一个闭集，并且，所以

(“交”包含于形成交的任一个成员)

综合这两个包含关系，即得所求证的等式．

由定理2.4.7可见，X是一个包含着A的闭集，它又包含于任何一个包含A的闭集之中，在这种意义下我们说：一个集合的闭包乃是包含着这个集合的最小的闭集． 在度量空间中，集合的凝聚点，导集和闭包都可以通过度量来刻画．

定义2.4.5 设（X，ρ)一个度量空间．X中的点x到X的非空子集A的距离ρ（x，A）定义为

ρ（x，A）＝inf{ρ（x，y）|y∈A}

根据下确界的性质以及邻域的定义易见：ρ（x，A）＝0当且仅当对于任意实数ε＞0，存在y∈A使得ρ（x，y）＜ε，换言之即是：对于任意B（x，ε）有B（x，ε)∩A≠而这又等价于：对于x的任何一个邻域U有U∩A≠

，应用以上讨论立即得到．

，

定理2.4.9 设A是度量空间（X，ρ）中的一个非空子集．则

（1）x∈d（A）当且仅当ρ（x，A-{x}）=0；

（2）x∈当且仅当ρ（x，A）＝0．

以下定理既为连续映射提供了等价的定义，也为验证映射的连续性提供了另外的手段．

定理2.4.10 设X和Y是两个拓扑空间，f:X→Y．则以下条件等价： （l）f是一个连续映射；

（2）Y中的任何一个闭集B的原象(B)是一个闭集；

（3）对于X中的任何一个子集A，A的闭包的象包含于A的象的闭包，即

；

(4)对于Y中的任何一个子集B，B的闭包的原象包含B的原象的闭包，即

．

证明 （1）蕴涵（2）．设BY是一个闭集．则 是一个开集，因此根据（1），

是X中的一个开集，因此

(B)是X中的一个闭集．

(2)蕴涵（3）设AX．由于f（A），

根据（2），成立．

(3)蕴涵(4)设AY集合(B)X应用（3）即得

（4）蕴涵（l）．设U是Y中的一个开集．则 可见:

是Y中的一个闭集．对此集合应用（4）

．

总结一下,到目前为止,证明映射连续的方法有几种?证明一个子集是开集,闭集的方法

有几种?如何证明一个点是某个子集的凝聚点? 作业: P69 1．2