中南大学高等代数习题册Ch1-Ch4

班级 姓名 学号 第四章 二次型

§1 二次型及其矩阵表示

1．二次型f(x,y,z)??x2?y2?z2?xy?xz?yz的矩阵是_____ ______.

??1?2．二次型f(x1,x2,x3)??x1,x2,x3???4???3?n22i2232??1???x1?1???x2?的矩阵是_____ ______. 2??????x3??1???n?3. 二次型n?x???xi?的矩阵是_____ ______.

i?1?i?1?a114. 设A?aija12a22an2x2a1na2nannxnx1x2的矩阵是

??a21n?n. 二次型f?x1,x2,,xn??an1x1xn0

_____ ______.

5. 设A, B是两个同级的对称矩阵，证明：二次型XTAX可用非退化线性替换化为二次型

YTBY的充要条件是：A与B合同. 6. 证明：

??1??2? ???合同，其中i1,i2,

??? 与 ???n???i1???????i2???? ??in??,in是1,2,,n的一个排列.

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班级 姓名 学号 §2 标准型

1. 分别用配方法和初等变换法求一个非退化线性替换把二次型

2f(x1,x2,x3)?2x12?x2?4x2x3?4x1x2

化为标准形.

2. 给定二次型f(x,y,z)??4xy?2xz?2yz.

1） 将其化为标准型；

2） 指出f(x,y,z)?a2为什么曲面；

3. 设f(x1,x2,x3)?2x1x2?2x1x3?2x2x3, 求其在x1?x2?x3?1时的最大值与最小值. 4. 设A是一个n级矩阵，证明：

1）A是反对称矩阵当且仅当对任一个n维向量X有X'AX?0； 2）如果A是对称矩阵，且对任一个n维向量X有X'AX?0，那么A?0.

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班级 姓名 学号 §3 唯一性

1. 设n阶实对称矩阵A合同于一个主对角线上有p个正元素， r?p个负元素的对角矩阵，则二次型xTAx在复数域上的规范形是 ，在实数域上的规范形是 ，符号差为 . 2. 设f(x1,x2,2,xn)?l12?l2?22?lp?lp?1?2,2,?lp?q，其中li (i?1,p?q)是

x1,x2,,xn的一次齐次式. 证明：f(x1,x2,,xn)的正惯性指数?p，负惯性指数?q.

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班级 姓名 学号 §4 正定二次型

0??11??是正定阵，则k满足条件__________________.

01. A?1k????00k?2??2222. 当t满足条件什么条件时，二次型f?x1?2x2?3x3?2x1x2?2x1x3?2tx2x3是正定

的?

3. 证明：n个变量的二次型f(x1,x2,子式都大于零.

4. 设A是n级实对称矩阵，证明：存在一正实数c使对任一个实n维向量x都有

,xn)???aijxixj是正定的充要条件是其一切主

i?1j?1nnxTAx?cxTx.

?n?25. 证明：n?xi???xi?是半正定的.

i?1?i?1?

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