中南大学高等代数习题册Ch1-Ch4

班级 姓名 学号 第二章 线性方程组

§1一般线性方程组的消元法，§2 n维向量空间

1. 已知5?1, 0, ?1??3???1, 0, 2???2, ?3, ?1?, 求?.

2．已知向量组?1??1, 2, 3, 4?, ?2??2, 3, 4, 5?,?3??3, 4, 5, 6?,?4??4, 5, 6, 7?，计算向量?1?3?2?2?3??4.

?x1?3x2?5x3??x?3x?2x?123???x3. 用消元法解线性方程组 ?x1?2x2?x3?x?4x?x?x23?1??x1?2x2?x3?x

4x?142x?4x?5?1?4x?53?4x?53?4x?5?1

?x1?2x2?3x3?x4?1?3x?2x?x?x?11234??4．用消元法解线性方程组 ?2x1?3x2?x3?x4?1

?2x?2x?2x?x?1234?1??5x1?5x2?2x3?2

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班级 姓名 学号 §3 线性相关性

一．选择题

1. n维向量组?1,?2,?,?s (3?s?n)线性无关的充分必要条件是（ ）

A.存在一组不全为零的数k1,k2,?,ks，使k1?1?k2?2??ks?s?0 B.?1,?2,?,?s中任意两个向量组都线性无关

C．?1,?2,?,?s中存在一个向量，它不能用其余向量线性表示 D.?1,?2,?,?s中任意一个向量都不能由其余向量线性表示

2. 若向量组中含有零向量，则此向量组（ ）

A.线性相关 B.线性无关 C．线性相关或线性无关 D.不一定

3．设?为任意非零向量，则?（ ）．

A.线性相关 B.线性无关 C．线性相关或线性无关 D．不一定

4.n维向量组?1,?2,...?s线性无关，?为一n维向量，则（ ）.

A.?1,?2,...,?s，?线性相关 B.?一定能被?1,?2,...,?s线性表出

C．?一定不能被?1,?2,...,?s线性表出

D.当s?n时，?一定能被?1,?2,...,?s线性表出

5.（1）若两个向量组等价，则它们所含向量的个数相同 （2）若向量组?1, ?2, 组?1, ?2, （3）若?1, ?2, （4）若?1, ?2, , ?r线性无关，?r?1可由?1, ?2, , ?r线性表出，则向量

, ?r?1也线性无关

, ?r线性无关，则?1, ?2, , ?r?1也线性无关

, ?r?1线性表出

, ?r线性相关，则?r一定可由?1, ?2, 以上说法正确的有（ ）个.

A.1 个 B.2 个 C．3 个 D.4个

6．设有向量组Ⅰ：?1, ?2, , ?r和Ⅱ：?1, ?2, , ?r, ?r?1, 则必有（ ）. , ?s，

A.Ⅰ无关?Ⅱ无关 B.Ⅱ无关?Ⅰ无关

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班级 姓名 学号 C.Ⅰ无关?Ⅱ相关 D.Ⅱ相关?Ⅰ相关

7. 设向量组?1,?2,?3线性无关. ?1,?2,?4线性相关，则（ ）.

A.?1必可由?2,?3,?4线性表示 B.?4必可由?1,?2,?3线性表示

C．?4必不可由?1,?2,?3线性表示 D.以上都不对 二．填空题

1. 已知向量组?，?(1,2,3,4)1，?， ?(3,4,5,6)??(2,3,4,5)23，则该向量组的秩是 . ??(4,5,6,7)32. 若?可由3. 设

1唯一表示, 则?线性 . ?,?,?,?,?,?,?12r12r为n维向量组, 且R，则n m. ?,?,?,?(?,?,?,?)?n2m12m4. n?1个n维向量构成的向量组一定是线性 的.（无关，相关） 5. 已知向量组

线性无关，则t? _______. ??(1,0,1),??(2,2,3),??(1,3,t)123三．计算与证明

1. 判别向量组?1=(0,0,2,3), ?2=(1,2,3,4)，?3=(1,2,1,1)，?4=(1,0,1,0)是否线性相关，并求?1,?2,?3,?4的一个极大线性无关组.

2. 求向量组??(1,1,1)，??(1,2,3)，??(3,4,5)的一个极大线性无关组，并将其余向量表为该极大线性无关组的线性组合.

3. 已知向量组（Ⅰ）?1,?2,?3,(Ⅱ) ?1,?2,?3,?4,(Ⅲ) ?1,?2,?3,?5，若各向量组的秩分别为R(Ⅰ) = R (Ⅱ) = 3 , R (Ⅲ) = 4 ,证明向量组（Ⅳ）：?1,?2,?3,?5??4的秩为4.

4. 设向量组?1,?2,5. 设向量组?1,?2,,?s的秩为r，证明：当m?s时，秩(?1,?2,,?r线性无关，而向量组?1,?2,,?m)?r?m?s.

,?r,?线性相关，证明：?可以由

?1,?2,,?r线性表出，且表示法唯一.

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班级 姓名 学号 §4 矩阵的秩

一．选择题

1. 设A为n阶方阵，且R?A??r＜n，则A中（ ）.

A. 必有r个行向量线性无关 B. 任意r个行向量线性无关

C．任意r个行向量构成一个极大无关组 D. 任意一个行向量都能被其他r个行向量线性表示

2. 设A是m?n矩阵，若（ ），则n元线性方程组AX?0有非零解.

A. m?n B.A的秩等于n C．m?n D.A的秩等于m

3. 设矩阵A?aij??m?n，AX?0仅有零解的充分必要条件是( ).

A. A的行向量组线性相关 B.A的行向量组线性无关

C．A的列向量组线性相关 D.A的列向量组线性无关

4. 设n元齐次线性方程组AX?0的系数矩阵A的秩为r，则AX?0有非零解的充分必要 条件是（ ）.

A.r?n B.r?n C．r?n D.r?n

5. 如果矩阵A的秩等于r，则（ ）。

A. 至多有一个r阶子式不为零 B. 所有r阶子式都不为零

C. 所有r?1阶子式全为零，且至少有一个r阶子式不为零 D. 所有低于r阶子式都不为零

二．填空题

1．一个n级矩阵A的行（或列）向量组线性无关，则A的秩为 .

?1?112???2. 设矩阵A??3??12?，且R(A)?2,则?? ，?? .

?53?6???3. 设A为n阶矩阵，且A?1,则 R(A)?________.

4.含有n个未知量n个方程的齐次线性方程组AX?0有非零解的充分且必要条件是 .

三．计算与证明

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