2020版高考数学大二轮复习5.1空间几何体学案(文)

第1讲 空间几何体

考点1 三视图、直观图与截面图、展开图

一个物体的三视图的排列规则

俯视图放在正(主)视图的下面，长度与正视图的长度一样，侧(左)视图放在正(主)视图的右面，高度与正(主)视图的高度一样，宽度与俯视图的宽度一样．即“长对正、高平齐、宽相等”．

[例1] (1)[2018·全国卷Ⅰ]某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如右

图.

圆柱表面上的点M在正视图上的对应点为A，圆柱表面上的点N在左视图上的对应点为B，

则在此圆柱侧面上，从M到N的路径中，最短路径的长度为( )

A．217 B．25 C．3 D．2

(2)[2019·黑龙江哈尔滨六中模拟]如图，一个直三棱柱形容器中盛有水，且侧棱AA1＝8，当侧面AA1B1B水平放置时，液面恰好过AC，BC，A1C1，B1C1的中点，当底面ABC水平放置时，液面高为________．

【解析】 (1)先画出圆柱的直观图，根据题图的三视图可知点M，N的位置如图①所示．

①

②

圆柱的侧面展开图及M，N的位置(N为OP的四等分点)如图②所示，连接MN，则图中MN即为M到N的最短路径．

1

ON＝×16＝4，OM＝2，

4

∴ |MN|＝OM＋ON＝2＋4＝25.

2

2

2

2

- 1 -

故选B.

(2)设底面ABC的面积为S，当侧面AA1B1B水平放置时，液面恰好过AC，BC，A1C1，B1C1

3

的中点，则水的体积为S×8，当底面ABC水平放置时，设液面高为h，水的体积为Sh，则Sh

43

＝S×8，可得h＝6. 4

【答案】 (1)B (2)6

1．由直观图确认三视图的方法

根据空间几何体三视图的定义及画法规则和摆放规则确认． 2．由三视图还原到直观图的思路 (1)根据俯视图确定几何体的底面．

(2)根据正(主)视图或侧(左)视图确定几何体的侧棱与侧面的特征，调整实线和虚线所对应的棱、面的位置．

(3)确定几何体的直观图形状.

『对接训练』

1．[2019·广东实验中学段考]正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为棱BB1的中点(如图)，用过点A，E，C1的平面截去该正方体的上半部分，则剩余几何体的侧视图为( )

- 2 -

解析：如图，F为DD1的中点，过点A，E，C1的平面为平面AEC1F，该平面截去正方体的上半部分后，剩余几何体的侧视图为C，故选C.

答案：C

2.[2019·江西八所重点中学联考]某四面体的三视图如图所示，则该四面体最长的棱长与最短的棱长的比值是( )

A.C.

5

B.2 2353

D. 52

解析：在棱长为2的正方体中还原该四面体PABC如图所示，其中最短的棱为AB和BC，最长的棱为PC.因为正方体的棱长为2，所以AB＝BC＝2，PC＝3，所以该四面体最长的棱长与3

最短的棱长的比值为，故选D.

2

答案：D

考点2 空间几何体的表面积与体积

空间几何体的几组常用公式 (1)柱体、锥体、台体的侧面积公式： ①S柱侧＝ch(c为底面周长，h为高)；

- 3 -

1

②S锥侧＝ch′(c为底面周长，h′为斜高)；

2

1

③S台侧＝(c＋c′)h′(c′，c分别为上下底面的周长，h′为斜高)．

2(2)柱体、锥体、台体的体积公式： ①V柱体＝Sh(S为底面面积，h为高)； 1

②V锥体＝Sh(S为底面面积，h为高)；

31

③V台＝(S＋SS′＋S′)h(不要求记忆)．

3

[例2] (1)[2019·天津卷]已知四棱锥的底面是边长为2的正方形，侧棱长均为5.若圆柱的一个底面的圆周经过四棱锥四条侧棱的中点，另一个底面的圆心为四棱锥底面的中心，则该圆柱的体积为________．

(2)[2019·重庆一中调考]一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为( )

A．3π B．4π C．2π＋4 D．3π＋4

【解析】 (1)本题主要考查空间几何体的结构特征与体积的计算，考查考生的空间想象能力，考查的核心素养是直观想象、数学运算．

1

由题可得，四棱锥底面对角线的长为2，则圆柱底面的半径为，易知四棱锥的高为5－1

2

π?1?2

＝2，故圆柱的高为1，所以圆柱的体积为π×??×1＝.

4?2?

1

(2)由几何体的三视图可知，该几何体为半圆柱，直观图如图所示，表面积为2×2＋2×

2×π×1＋π×1×2＝4＋3π，故选D.

【答案】 (1) (2)D 4

2

π - 4 -