2012届新课标数学考点预测(13)：圆锥曲线与方程

y2x??14故曲线C的方程为．

24分

（Ⅱ）设

A(x1，y1)，B(x2，y2)，其坐标满足

?2y2?1，?x?4?22?y?kx?1.(k?4)x?2kx?3?0， ?消去y并整理得

x1?x2??2k3，xx??12k2?4k2?4． 6分

故

????????2OA?OB，即x1x2?y1y2?0．而y1y2?kx1x2?k(x1?x2)?1，

33k22k2?4k2?1x1x2?y1y2??2?2?2?1?2k?4k?4k?4k?4． 于是

k??所以

1????????xx?yy?02时，1212，故OA?OB．

8分

k??当

1412x1?x2??x1x2??2时，17，17．

，

?????AB?(x2?x1)2?(y2?y1)2?(1?k2)(x2?x1)2424?343?13?2?4??22(x?x)?(x?x)?4xx2121121717172， 而

?????465AB?17． 所以

xyC1：??1(a?b?0)ab6．已知曲线所围成的封闭图形的面积为45， 25CCC曲线1的内切圆半径为3．记2为以曲线1与坐标轴的交点为顶点的椭圆．

（Ⅰ）求椭圆

C2的标准方程；C（Ⅱ）设AB是过椭圆2中心的任意弦，l是线段AB的垂直

平分线．M是l上异于椭圆中心的点．（1）若椭圆

MO??OA（O为坐标原点），当点A在

C2上运动时，求点M的轨迹方程；C（2）若M是l与椭圆2的交点，求△AMB的面

积的最小值．

〖解析〗（Ⅰ）由三角形面积公式和点到直线的距离公式可得关于a，b的方程组， 曲线与坐标轴的交点为椭圆的顶点，显然

C1C2为焦点在x轴的椭圆；

A(xA，yA)，M(x，y)，联立直线与椭圆得到（Ⅱ）（1）设出AB的方程y?kx(k?0)，

方程组后，由

MO??OA(??0)可得M的轨迹方程，注意k?0或不存在时所得方程仍

然成立；（2）由直线l的方程：由不等式放缩即可求出最小值.

y??1122S△?AB?OMxAMB4k和椭圆方程联立后表示出

2?2ab?45，??ab25?．?22223〖答案〗（Ⅰ）由题意得?a?b又a?b?0，解得a?5，b?4．

x2y2??154因此所求椭圆的标准方程为．

（Ⅱ）（1）假设AB所在的直线斜率存在且不为零，设AB所在直线方程为

?x2y2?1，??4?520k22022yA?xA?y?kx(k?0)，A(xA，yA)．解方程组??y?kx，得4?5k2，4?5k2， 2020k220(1?k2)OA?x?y???224?5k4?5k4?5k2．设M(x，y)，由题意知所以

22A2A20(1?k2)22x?y??MO??OA(??0)MO??2OA4?5k2， ，所以，即

222x1k??y??xy， llk，即AB因为是的垂直平分线，所以直线的方程为?x2?20?1?2?22y??222220(x?y)x?y????x24y2?5x24?5?2y因此，

x2y2???2222225又x?y?0，所以5x?4y?20?，故4．又当k?0或不存在时，上式x2y2???2(??0)5仍然成立．综上所述，M的轨迹方程为4．

20k2202yA?x?24?5k，4?5k2， （2）当k存在且k?0时，由（1）得

2A?x2y2??1，??54?20k22022?y??1x，xM?y?M22?k?5?4k5?4k由解得，，

20(1?k2)80(1?k2)20(1?k2)222OA?x?y?AB?4OA?OM?224?5k，4?5k，5?4k2． 所以

22A2AS解法一：由于

2△AMB122180(1?k2)20(1?k2)?AB?OM???444?5k25?4k2

400(1?k2)22?4?5k2?5?4k2?1600(1?k2)2?40???????281(1?k2)2???9?，

≥?400(1?k)(4?5k2)(5?4k2)22222当且仅当4?5k?5?4k时等号成立，即k??1时等号成立，此时△AMB面积的最小值

是

S△AMB?14040S△AMB??25?2?25?29．当k不存在时，9．当k?0，

40140S△AMB??5?4?25?29．综上所述，△AMB的面积的最小值为9．

1OA解法二：因为

1?1OM2?1OM2?11?2220(1?k2)20(1?k2)?4?5k?5?4k?920(1?k2)20， 4?5k25?4k2OA?OM≥409，

又

OA2≥22OA?OM，

22当且仅当4?5k?5?4k时等号成立，即k??1时等号成立，此时△AMB面积的最小值

是

S△AMB?14040S△AMB??25?2?25?29．当k不存在时，9．当k?0，

40140S△AMB??5?4?25?29．综上所述，△AMB的面积的最小值为9．

x2y2?2?122x?8(y?b)．如图所示，过点b?02bb7．设，椭圆方程为，抛物线方程为

F(0，b?2)作x轴的平行线，与抛物线在第一象限的交点为G，已知抛物线在点G的切

线经过椭圆的右焦点

F1．

（1）求满足条件的椭圆方程和抛物线方程；（2）设A，B分别是

椭圆长轴的左、右端点，试探究在抛物线上是否存在点P，使得△ABP为直角三角形？若存在，请指出共有几个这样的点？并说明理由（不必具体求出这些点的坐标）．

〖解析〗（1）由已知可求出G点的坐标，从而求出抛物线在点G的切线方程，进而求出

F1点的坐标，由椭圆方程也可以求出F1点的坐标，从而求出b?1，得

出椭圆方程和抛物线方程；（2）以?PAB为直角和以?PBA为直角的直角三角形显然各一个，以?APB为直角的直角三角形是否存在可以转化成PA?PB?0对应的方程是否有解的问题，从而可以求出满足条件的P点的个数. 〖答案〗（1）由x?8(y?b)得

2y?12x?b8，当y?b?2得x??4，?G点的坐标为

(4,b?2)，

y'?1x4，y'|x?4?1，过点G的切线方程为y?(b?2)?x?4即y?x?b?2，

?F1点的坐标为(2?b,0)，由椭圆方程得F1点的坐标为(b,0)，

令y?0得x?2?b，

x2?y2?12?2?b?b即b?1，即椭圆和抛物线的方程分别为2和x?8(y?1)； ?过A作x轴的垂线与抛物线只有一个交点P,?以?PAB为直角的Rt?ABP只有一（2）

个，同理? 以?PBA为直角的Rt?ABP只有一个。若以?APB为直角，设P点坐标为

1(x,x2?1)8，A、B两点的坐标分别为(?2,0)和(2,0)，

????????11452PA?PB?x2?2?(x2?1)2?x?x?1?028644。关于x的二次方程有一大于零的解，

?x有两解，即以?APB为直角的Rt?ABP有两个，因此抛物线上存在四个点使得?ABP