高中数学竞赛讲座 18类比、归纳、猜想

【分析】我们可先把它类比为一简单的类比题：“已知xl≥0，x2≥0，且xl+x2 =1，求证1≤∴0≤2+

≤

+

≤

”．本类比题的证明思路为：∵2

≤2，即1≤(

+

≤xl+x2＝l，)≤2，∴1≤

2

≤1，则1≤xl+x2+2

．这一证明过程中用到了基本不等式和配方法．这正是要寻找的证明原

命题的思路和方法．

证明：由基本不等式有0≤2≤xi+xj，则

0≤2≤(n-1)( xl+x2+?+xn)=n-1

∴1≤xl+x2+?+xn +2≤n，即1≤(++?+)≤n

2

∴1≤++?+≤．

所谓归纳，是指通过对特例的分析来引出普遍结论的一种推理形式．它由推理的前提和结论两部分构成：前提是若干已知的个别事实，是个别或特殊的判断、陈述，结论是从前提中通过推理而获得的猜想，是普遍性的陈述、判断．其思维模式是：设Mi（i＝1，2，?，n）是要研究对象M的特例或子集，若Mi（i＝1，2，?，n）具有性质P，则由此猜想M也可能具有性质P．

如果＝M，这时的归纳法称为完全归纳法．由于它穷尽了被研究对象的一切特

例，因而结论是正确可靠的．完全归纳法可以作为论证的方法，它又称为枚举归纳法．

如果是M的真子集，这时的归纳法称为不完全归纳法．由于不完全归纳法

没有穷尽全部被研究的对象，得出的结论只能算猜想，结论的正确与否有待进一步证明或举反例．

本节主要介绍如何运用不完全归纳法获得猜想，对于完全归纳法，将在以后结合有关内容（如分类法）进行讲解．

【例5】证明：任何面积等于1的凸四边形的周长及两条对角线的长度之和不小于4十

．

【分析】四边形的周长和对角线的长度和混在一起令人棘手，我们可以从特例考察起：先考虑面积为1的正方形，其周长恰为4，对角钱之和为2

即

．其次考

察面积为1的菱形，若两对角线长记为l1、l2，那么菱形面积S=l1·l2，知

l1+ l2≥2=2=，菱形周长： l＝4≥2=4。

由此，可以猜想：对一般的凸四边形也可将其周长和对角线长度和分开考虑． 【证明】设ABCD为任意一个面积为1的凸四边形，其有关线段及角标如图．则

SABCD= (eg+gf+fh+he)sinα

≤ (e+f)(g+h)≤，

∴e+f+g+h≥2，即对角线长度之和不小于．

∴a＋b＋c＋d≥4，即周长不小于4． 综上所述，结论得证，

【例 6】在一直线上从左到右依次排列着 1988个点P1，P2，?，P1988，且Pk是线段Pk-1Pk+1的k等分点中最靠近Pk+1的那个点（2≤k≤1988），P1P2=1， P1987 P1988=l．求证：2l<3

-1984

。

【分析】本题初看复杂，难以入手．不妨先从特殊值出发，通过特殊值的计算，以便分析、归纳出一般性的规律．

当k=1时，P1P2=1（已知）；当k= 2时， P2是P1P3的中点，故P2P3= P1P2= 1；当k=3

时， P3是P2P4的三等分点中最靠近的那个分点，即P3P4= P2P4=P2P3+ P3P4，故P3P4= P2P3=①

由此可推得4 P5=×②，P5P6=××③

由①、②、③，可归纳以下猜想：

PkPk+1=Pk-1Pk。

【证明】

于是有：

P2P3+ P3P4) =

( 令k=1987，则有

故2l<3

-1984

。