2007-2008(1)线性代数试题B卷解答

广州大学2007-2008学年第一学期考试卷

线性代数B卷参考解答

一．填空题（每小题3分，本大题满分15分）

1．设α1,α2,α3为3维列向量, 且|α1,α2,α3|?4, 则|α1,2α3?2α2,α2|??8. ?2?2．已知A*?2??4?0240??0，则|A|?4. ?4??3．设A为可逆矩阵, 则矩阵方程XA?B的解为X?BA?1.

4．若向量α?(1,?1,2)与β?(1,a,1)正交, 则a?3.

5．若2阶方阵A满足方程A2?3A?2E?O, 且A的两个特征值不相等, 则A的特征值为1,2.

二．选择题 (每小题3分, 本大题满分15分)

1．设A为3阶方阵，且|A|?4, 则|?2A|?( D ). (A) 8； (B) ?8； (C) 32 (D) ?32.

281172. 二次多项式

5314x0x?58161中x2项的系数是( C ).

(A) 7； (B) ?7； (C) 5 (D) ?5.

3. 设A,B,C均为n阶方阵, 且ABC?E, 则必有( A ).

(A) CAB?E; (B) BAC?E; (C) CBA?E; (D) ACB?E.

4. 设A是m?n矩阵, 若线性方程组Ax?0仅有零解, 则必有( C ). (A) R(A)?m; (B) R(A)?m; (C) R(A)?n; (D) R(A)?n.

5. 若向量组α1,?,αm线性无关, 且k1α1???kmαm?0, 则( A ). (A) k1,?,km全为0; (B) k1,?,km全不为0; (C) k1,?,km不全为0; (D) 前述情况都可能出现.

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三．（本题满分8分）

1213?41?1?151?1?251?1?201?113?244?2?248?2?24818?240202?2121?10210021000001?0001000计算行列式D?.

解 D?。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。3分

。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。5分

?。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。8分 ??36。

四．（本题满分8分）

设A???3?12??1, B??54????1?13?2007, C?2A?B, 求C. ?9?解 C?? C C21?。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。3分 ?。?1?0?。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。5分 ?。2??2???02006?21003???0?2100??1003?230? 1003?2??。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。8分 1003??2?21003 C

2007

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五．（本题满分10分）

?y1?x1?3x2?4x3?求线性变换?y2?2x1?x2?2x3的逆变换.

?y?x?2x?3x123?3?1?解 系数矩阵A?2??1?3124??2，|A|??1，逆变换存在。。。。。。。。。。。。。。。。3分 ?3????1?A*??4??3?A?1?1?112??6。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。6分 ??5??11?1?2???6。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。8分 ?5???11??A*?4?|A|??3??x1?y1?y2?2y3?所求逆变换为 ?x2?4y1?y2?6y3。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。10分

?x??3y?y?5y123?3

六．（本题满分12分）

?1?设(α1,α2,α3,α4)??2?2?3?31218?24??2, 求向量组α1,α2,α3,α4的秩和一个最大?12??无关组, 再把其余向量用该最大无关组线性表示. 解 化矩阵(α1,α2,α3,α4)为行最简形:

?1?(α1,α2,α3,α4)~0??0?3?9616?4?14?????6~0??4???0?0103?232??2?。。。。。。。。。5分 3?0??0向量组α1,α2,α3,α4的秩为2。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。7分 一个最大无关组为α1,α2。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。9分 且有 α3?3α1?23α, α4?2α1?223α2。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。12分

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七．（本题满分12分）

?x1?2x2?3x3?3x4?7?求方程组?3x1?2x2?x3?x4??3的通解.

?5x?4x?3x?3x??1234?1解 化增广矩阵为行最简形:

?1?(A,b)?3??5??1?~0??0??1?~0??0?2242?4?60103133?8?12?120?1203137???3。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。2分 ??1??3?8?127???24。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。4分 ??36???5??6。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。6分 ?0???x1?x3?x4??5同解方程组为 ?。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。8分

?x2?2x3?2x4?6令x3?k1，x4?k2，得通解为 ?x1?x2 ??x3??x4

??1??1???5?????????2?26??k???k?????，其中k,k为任意实数。。。。。。。。。。。12分 1212??1??0??0????????010???????八．（本题满分12分）

??1求矩阵A???4??11300?0?的特征值和特征向量. ?2?13??0020?(2??)(1??) 2???1??解 |A??E|??41A的特征值为?1?2，?2??3?1。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。6分

?0???当?1?2时，解 (A?2E)x?0，得基础解系p1??0?，

?1???

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对应于特征值?1?2的全部特征向量为k1p1（k1?0）。。。。。。。。。。。。。。。。。。9分 ??1???当?2??3?1时，解(A?E)x?0，得基础解系p2??2，

???1???对应于特征值?2??3?1的全部特征向量为k2p2（k2?0）。。。。。。。。。。。。12分

九．（本题满分8分）

设η是非齐次线性方程组Ax?b的一个解, ξ1,?,ξn?r是Ax?0的一个基础解系. 证明: η,η?ξ1,?,η?ξn?r线性无关. 证明 设存在一组数x,x1,?,xn?r, 使

xη?x1(η?ξ1)???xn?r(η?ξn?r)?0 (1)

即 (x?x1???xn?r)η?x1ξ1???xn?rξn?r?0 (2)..................2分 由题设Aη?b, Aξi?0(i?1,?,n?r), 用矩阵A左乘(2)的两边, 得

(x?x1???xn?r)b?0

因b?0, 得

x?x1???xn?r?0 (3)…………..5分

代入(2)得

x1ξ1???xn?rξn?r?0

因基础解系 ξ1,?,ξn?r 线性无关, 所以

x1???xn?r?0

代入(3)得 x?0.

因此(1)只有零解, 从而η,η?ξ1,?,η?ξn?r 线性无关………………………..8分

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