2019-2020学年高中数学第一章三角函数1.4.3正切函数的性质与图象限时规范训练新人教A版必修4

1.4.3 正切函数的性质与图象

【基础练习】

1．下列各式中正确的是( ) A．tan 735°>tan 800° 5π4π

C．tan

77【答案】D

π?9πππππ??π?【解析】tan＝tan?π＋?＝tan，因为0<<<，y＝tan x在?0，?上是增函

8?2?88872??ππ9ππ

数，所以tan

8787

2．(2019年甘肃平凉月考)函数y＝tan 是( )

2A．最小正周期为4π的奇函数 C．最小正周期为4π的偶函数 【答案】B

πx【解析】函数y＝tan ωx为奇函数，最小正周期为，所以函数y＝tan 是最小正周期

ω2为2π的奇函数．故选B．

π??3．(2018年福建龙岩期中)y＝tan?2x＋?的一个对称中心是( )

3??

B．最小正周期为2π的奇函数 D．最小正周期为2π的偶函数 B．tan 1>－tan 2 9ππD．tan

87

x?π?A．?，0?

?6??2?C．?π，0? ?3?

【答案】D

?2?B．?π，－33?

?3??π?D．?－，0? ?6?

π?πkπk?－，0?. 【解析】令2x＋＝π(k∈Z)，∴x＝－＋π(k∈Z)．k＝0时，对称中心为?

3264?6?4．函数f(x)＝

sin x在区间[－π，π]内的大致图象是如图所示的( )

|cos x|

A B

- 1 -

C D

【答案】B

??

?π，π?，

－tan x，x∈?2????

【解析】f(x)＝??π?tan x，x∈?－，0?，

?2??

?－π，－π?.

－tan x，x∈????2??

ππ??【答案】?kπ－，kπ＋?(k∈Z) 22??

π??0，tan x，x∈??，

2??

5．(2019年上海期中)函数y＝－tan x的单调递减区间是________．

ππ??【解析】在区间?kπ－，kπ＋?(k∈Z)上，函数y＝tan x单调递增，故函数y＝－

22??ππ??tan x单调递减，即函数y＝－tan x的单调递减区间是?kπ－，kπ＋?(k∈Z)．

22??

xπ?π???＋0，6．(2019年湖南衡阳期末)函数y＝tan??，x∈??的值域是________． 6??24??

【答案】(1，3]

πxππ?π??ππ?【解析】x∈?0，?时，<＋≤，而函数y＝tan x在区间?－，?上单调递增，

6?4243??22?ππ

tan ＝1，tan ＝3，所以所求值域是(1，3]．

43

π??7．已知函数f(x)＝tan?2x＋?，求f(x)的定义域与最小正周期．

4??

π?ππkππ?【解析】由函数f(x)＝tan?2x＋?，可得2x＋≠kπ＋，k∈Z，即x≠＋，可4?4228?得f(x)的定义域为?x|x≠

??

kππ

?π

＋，k∈Z?.函数f(x)的最小正周期为. 282?

8．试判断下列函数的奇偶性． (1)f(x)＝1－2cos x＋|tan x|； (2)f(x)＝xtan x－sin x.

- 2 -

2

??π

【解析】(1)函数的定义域为?x|x≠＋kπ，k∈Z?，

2??

f(－x)＝1－2cos(－x)＋|tan(－x)|＝1－2cos x＋|tan x|＝f(x)，∴函数是偶函数．

??π

(2)函数的定义域为?x|x≠＋kπ，k∈Z?，

2??

f(－x)＝(－x)2tan(－x)－sin(－x)＝－(x2tan x－sin x)＝－f(x)，∴函数是奇函数．

ππ2

9．已知－≤x≤，f(x)＝tanx＋2tan x＋2，求f(x)的最值及相应的x值．

34ππ

【解析】∵－≤x≤，∴－3≤tan x≤1，

34

f(x)＝tan2x＋2tan x＋2＝(tan x＋1)2＋1，

π

当tan x＝－1，即x＝－时，ymin＝1；

4π

当tan x＝1，即x＝时，ymax＝5.

4

【能力提升】

10．(2019年黑龙江哈尔滨期末)函数f(x)＝tan ωx(ω>0)的图象的相邻两支截直线yπ?π?＝1所得的线段长为，则f??的值为( ) 4?12?

A．0 C．1 【答案】D

π?π??π?【解析】由题意得函数f(x)的最小正周期为，所以ω＝4.所以f??＝tan?4×?＝

4?12??12?π

tan ＝3.故选D．

3

π??11．(2018年湖北黄冈期末)已知函数f(x)＝tan?2x＋?，则下列说法正确的是( ) 3??A．f(x)在定义域是增函数 B．f(x)的对称中心是?C．f(x)是奇函数 D．f(x)的对称轴是x＝【答案】B

πkπkππ

【解析】根据正切函数的单调性，选项A错误；令2x＋＝，求得x＝－，k∈

3246

- 3 -

B．

3

3

D．3

?kπ－π，0?(k∈Z)

?6?4?

kππ

2

＋(k∈Z) 12

Z，可得f(x)的对称中心是?

?kπ－π，0?，k∈Z，选项B正确；显然，函数f(x)＝tan?2x＋π????63??4??

π??不是奇函数，选项C错误；显然，函数f(x)＝tan?2x＋?的图象无对称轴，选项D错误．故

3??选B．

?ππ?12．已知函数y＝tan ωx(ω＞0)在?－，?上单调递增，则ω的最大值为________．

?64?

【答案】2

π?π?π

【解析】函数y＝tan ωx(ω＞0)的周期T＝.∵?－?＜，∴由正切函数的单调性

ω?6?4

Tπππ

可得≥，即T＝≥，即0＜ω≤2，故ω的最大值为2.

24ω2

?xπ?13．设函数f(x)＝tan?－?.

?23?

(1)求函数的定义域、周期和单调区间； (2)求不等式f(x)≤3的解集．

5π?xπ?可得x－π≠kπ＋π，【解析】(1)根据函数f(x)＝tan?－?，k∈Z，求得x≠2kπ＋，2323?23?

??5π

故函数的定义域为?x|x≠2kπ＋，k∈Z?.

3??

π

函数f(x)的周期为＝2π.

12

πxππ

令kπ－＜－＜kπ＋，k∈Z，

2232π5π

求得2kπ－＜x＜2kπ＋，

33

π5π??故函数的增区间为?2kπ－，2kπ＋?，k∈Z.

33??

?xπ?(2)f(x)≤3，即tan?－?≤3， ?23?

πxππ

∴kπ－＜－≤kπ＋，k∈Z，

2233π4π

求得2kπ－＜x≤2kπ＋，k∈Z，

33

π4π??故不等式的解集为?2kπ－，2kπ＋?，k∈Z.

33??

- 4 -