第一讲 行列式

线性代数

特点：概念多，运算法则多且容易混淆。

注意：1、注重对基本概念的理解和把握，对基本方法和基本运算要正确熟练； 2、注重知识点的衔接和转换，把知识编织成网，提高自己的综合分析能力； 3、注重逻辑思维的训练。

线性代数共分6部分：

1、行列式；2、矩阵；3、向量；4、方程组；5、特征值；6、二次型。

第一讲 行列式

要点：1.行列式的概念、性质。2.行列式的计算。

一、n阶行列式的概念

a11A?a21?an1?a?a21A??????an1a12a22?an2aa22?an2????????a1na2n?ann??a2n? （表格） ???ann?n????1???j1j2?jn?a1j1a2j2?anjn （数）

a行列式是不同行不同列元素乘积的代数和。 二阶行列式

acbd?ad?bc

a1a2b2c2a3b3?a1b2c3?a2b3c1?a3b1c2?a3b2c1?a2b1c3?a1b3c2 c3三阶行列式b1c1定义1.1 由1,2,?,n组成的有序数组称为一个n阶排列，通常用j1j2?jn表示n阶排列。 例如，2143是一个4级排列，3124也是一个4级排列，15423是一个5级排列。

定义1.2 一个排列中，如果一个大的数排在小的数之前，就称这两个数构成一个逆序。一个排列的逆序总数称为这个排列的逆序数。 用??j1j2?jn?表示排列j1j2?jn的逆序数。

如果一个排列的逆序数是偶数，则称这个排列为偶排列，否则称为奇排列。

例 在5阶排列25134中，共有逆序21，51，53，54，即??25134??4，所以25134是偶排列。

例 在6阶排列365412中，共有逆序

31，32，65，64，61，62，54，51，52，41，42， 即??365412??11，所以365412是奇排列。

例 已知a23a31a42aija56a14是六阶行列式中的一项，试确定该项所带的正负号。

解 根据行列式的定义，它是不同行不同列元素乘积的代数和。

因此必有i?6，j?5。所以该项可写成a23a31a42a65a56a14。将该项的行按自然顺序排好，有 a23a31a42a65aa?5614aa14a23a31 aa此时，列的逆序数??431265??3?2?0?0?1?6是偶数，所以该项所带符号为正号。 说明 可以直接计算行的逆序数与列的逆序数，由于??234651????312564??6?4是偶数，所以该项带正号。

二、n阶行列式的计算——按行（列）展开公式

A?ai1Ai1?ai2Ai2???ainAin （按i行展开公式）

若i?1，A?a11A11?a12A12???a1nA1n （按第1行展开公式） 若i?2，A?a21A21?a22A22???a2nA2n （按第2行展开公式）

A?a1jA1j?a2jA2j???anjAnj （按j列展开公式）

Aij——aij的代数余子式

??????j??i?Mij——aij的余子式 ?Aij???1?i?jMij——aij的代数余子式

对行列式按行展开：

A?ai1Ai1?ai2Ai2???ainAin

问：能否对一个行列式做恒等变形？

a11?an1a12?an2??a1n?ann???a11?an10??2an??0? ?ann要用展开公式，但在展开之前先利用行列式的性质作恒等变形，某行（列）有较多0后再展开。

三、代数余子式的性质

14725836 A11???1?91?15869??3 A12???1?1?24769?6

x47y58z6 A11???1?91?15869??3 A12???1?1?24769?6

性质：（1）Aij和aij的大小无关；

（2）ai1Aj1?ai2Aj2???ainAjn?0?i?j?； （3）ai1Ai1?ai2Ai2???ainAin?A； ?a11?A?a21??a?31?A11?*A?A12??A?13?a11?a?21?a?31a12a22a32a12a22a32A21A22A23a13??a23?a33??a13?a11?a23 A?a21?a33?a31?a1a2a22a13a2 3a3332A31??A32 称为A的伴随矩阵 ?A33???A11?A?12?A?13*A21A22A23A31??A??A32=0???A33???00A00??1??0?=A?0?0A???0100??0 ?1??矩阵的公式：AA?AE ?A11?由?A12?A?13*A21A22A23*A31??A32?A33???a11?a?21?a?31a12a22a32a13??A??a23=0???a33???00A00??*0?可得：AA?AE A??即AA?AA?AE

*A要防止两种错误：

（1）A中第i行元素的代数余子式在A*中是第i列； （2）求Aij时不要忘记??1?四、行列式的性质

（1）某行的k倍加至另一行其值不变； （2）两行互换行列式变号；

（3）某行有公因数可把其提取到行列式记号之外（要避免和矩阵性质混淆）；

**i?j。

kai1kai2?kain?kai1ai2?ain （行列式）

**?ka11????ka?m1ka12?kam2???ka1n??a11????k?????akamn??m1a12?am2???a1n??? （矩阵） ?amn??（4）经转置行列式的值不变； （5）两行相等行列式为0；

（6）两行成比例行列式为0；

（7）一行每个数都是两个数的和时，该行列式可关于该行拆开成两个行列式之和，拆开时其它各行均保持不动。 a1?b1a2?b2a3?b3a1a2a3b1b2b3c1c2c3=c1c2c3+c1c2c3 d1d2d3d1d2d3d1d2d3五、重要公式

a11a12?a1na111．

a22?a2na22???a21????a11a22?ann

annan1an2?ann11?1x1x2?xn2．x21x22?x2n???xi?xj?范德蒙行列式

????1?j?i?nxn?11xn?12?xn?1n例题：

111（1）x1x2x3=?x2?x1??x3?x1??x3?x2? x21x22x23b?ca?ca?ba?b?ca?b?ca?b?c1（2）abc=abc=?a?b?c?aa2b2c2a2b2c2a2=(a?b?c)(b?a)(c?a)(c?b)

b?211a?b1?1?a?1?a21a1b1b21（3）a2a2222b2?b22?22b2b2=a1a2a31?a2ab2a2?a? 2?33b33b3?b213?a?3?a?3?11bc b2c2