2019年高考数学二轮复习试题：专题三 第4讲 空间中动态问题(含解析)

第4讲 空间中动态问题

选题明细表

知识点·方法 展开图 折叠后位置关系 折叠后数量关系 轨迹问题 巩固提高A 1,3,9 2,5,7,11,12 8,14 12,13,14,15 4,6,10,13 巩固提高A

一、选择题

1. 如图,是正方体的平面展开图,则在这个正方体中AB与CD的位置关系为( C )

2,3,5,9 巩固提高B 8 4,10 1,6,7,11,

(A)平行 (B)相交成60°角 (C)异面成60°角 (D)异面且垂直

解析:由图可知还原立体图形如图所示:

所以可知AB,CD异面, 因为CE平行AB, 所以∠DCE为所求角,

因为三角形CDE为等边三角形, 故∠DCE=60°. 故选C.

2. 如图,等边△ABC的中线AF与中位线DE相交于点G,已知△A′ED是△AED绕DE翻转过程中的一个图形,下列命题中,错误的是( D )

(A)动点A′在平面ABC上的射影在线段AF上 (B)恒有平面A′GF⊥平面BCED (C)三棱锥A′EFD的体积有最大值 (D)异面直线A′E与BD不可能垂直

解析:由题意知,DE⊥平面A′GF,故选项A,B正确,对于三棱锥A′-EFD体积,其底面△EFD在翻转过程中面积不变,则当A′G⊥底面EFD时,三棱锥A′EFD体积最大,故选项C正确,过E点作AB的垂线,垂足为E′,EE′∩AF=G′,当A′G⊥平面BCED时,EE′是A′E在平面BCED的射影,由三垂线定理易知,此时A′E⊥BD.故选D.

3.一个圆柱的侧面展开图是一个正方形,这个圆柱的全面积与侧面积的比是( A )

(A)(C)

(B) (D)

解析:侧面展开图是一个正方形,所以2πr=h,全面积为S1=2πr2+2πrh=2πr2(1+2π),侧面积S2=2πrh=4π2r2.

所以=,故选A.

4.在棱长为1的正方体ABCDA′B′C′D′中,E是AA′的中点,P是三角形BDC′内的动点,EP⊥BC′,则P的轨迹长为( D ) (A) (B) (C)

(D)

解析:先找到一个平面总是保持与BC′垂直,分别取BB′,BC,AD的中点F,H,G.连接EF,FH,EG,GH,在正方体ABCD-A′B′C′D′中,有BC′⊥平面EFHG,又P是三角形BDC′内的动点,根据平面的基本性质得:点P的轨迹为平面EFG与平面BDC的交线段MN,在直角三角形MNH中,NH=,MH=,所以MN=

=.故选D.

5.将下面的平面图形(每个点都是正三角形的顶点或边的中点)沿虚线折成一个正四面体后,直线MN与PQ是异面直线的是( C )

(A)①② (B)②④ (C)①④ (D)①③

解析:②折叠后N与Q重合,两直线相交;③折叠后两直线平行,因此异面直线是①④故选C

6. 如图,AB∩α=B,直线AB与平面α所成的角为75°,点A是直线AB上一定点,动直线AP与平面α交于点P,且满足∠PAB=45°,则点P在平面α内的轨迹是( D )

(A)双曲线的一支 (B)抛物线的一部分 (C)圆 (D)椭圆

解析:用垂直于圆锥轴的平面去截圆锥,得到的是圆;把平面渐渐倾斜,得到椭圆;当平面和圆锥的一条母线平行时,得到抛物线.此题中平面α上的动点P满足∠PAB=45°,可理解为P在以AB为轴的圆锥的侧面上,再由斜线段AB与平面α所成的角为75°,可知P的轨迹符合圆锥曲线中椭圆定义.故可知动点P的轨迹是椭圆.故选D.

7. 如图,矩形ABCD中,AB=2AD,E为边AB的中点,将△ADE沿直线DE翻转到△A1DE,若M,O分别为线段A1C,DE的中点,则在△ADE翻转过程中,下列说法错误的是( C )

(A)与平面A1DE垂直的直线必与直线MB垂直