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《常微分方程》课程试题(A卷)

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优选专业年级 信息与计算科学 06级 学号 姓名 授课教师 高存臣 座号

中国海洋大学 2008-2009学年 第一学期 期末考试试卷

学院《常微分方程》课程试题(A卷) 共 3 页 第 1 页 考试说明:本课程为闭卷考试,可携带 计算器、圆规、直尺、半圆仪 文具,满分为:100分。 题号 得分 一 二 三 四 五 总分 -------------------------------装装--------------------------------订订--------------------------------线线-------------------------------- -一、选择题(本题共10分) 1、微分方程dy?f(x,y)的( )称之为微分方程的积分曲线. dx(A)斜率f(x,y); (B)解曲线y??(x); (C) y的微分f(x,y)dx; (D) (A)(B)(C)都不对. 2、方程M(x,y)dx?N(x,y)dy?0有只与y有关的积分因子的充要条件为下面哪一个( ). (A) 1?M?N1?M?N(?)??(y); (B) ?(?)??(y); N?y?xM?y?x1?M?NN?M?N(?)??(y); (D)(?)??(y). N?y?xM?y?x (C) ? 3、对于一阶微分方程dy?f(x,y),R=x?x0?a,y?y0?b.作皮卡序列 dx??0(x)?y0?x, ??(x)?y?f(x,?(x))dx,(x,y)?R0n?100?x0??n决定?n(x)一致收敛的条件是( ) (A) f(x,y)在R上连续; (B)f(x,y)在R上关于y满足李普希茨条件; (C)f(x,y)在R上关于x满足李普希茨条件;(D)f(x,y)在R上关于y连续. word d4xd2x 4、方程4?22?x?0的通解为( ). dtdtt2tt2t(A)x?(c1?c2t)e?(c3?c4t)e; (B)x?c1e?c2e; (C)x?(c1?c2t)cost?(c3?c4t)sint; (D)x?c1cost?c2sint. 5、给定常系数线性微分方程组x'?Ax,如果A的特征值的实部都是负的,则它的任一解当t??时,都趋于( ). (A) 零; (B) 一个固定的常数; (C) 无穷大; (D) 保持有界. 二、判断题(本题共10分) 1、形式为y 2、方程(n)?f(x,y,y',?,y(n))的方程称为n阶常微分方程.( ) dyax?b1y?c1?f(1)可化为变量分离方程.( ) dxa2x?b2y?c2 3、若函数f(x,y)在区间R:x?x0?a,y?y0?b上关y偏导数f'y(x,y)连续,则f(x,y)在R上必关于y满足李普希茨条件.( ) 4、若函数x1(t),?,xn(t)在区间a?t?b上线性相关,则在a?t?b上它们的伏朗斯基行列式恒等于零.( ) 5、方程组x'?A(t)x一定存在n个线性无关的解.( ) 三、填空题(本题共10分) 1、如果函数y??(x)代入方程F(x,y,y',?,y(n))?0后,能使它变为恒等式(n)( ),则称( )为方程F(x,y,y',?,y)?0的解. 2、形如( )的方程称为齐次方程,其中( )函数. 3、方程dy?2y?x的解的存在且唯一的区域为( ). dxd3x 4、方程3?x?0的通解为( ). dt 5、x'?A(t)x的( )称为x'?A(t)x的一个基本解组. 显然,x'?A(t)x具有( )个不同的基本解组. word 四、简答题(本题共40分) 1、求方程(x?2y)dx?(x?1)dy?0的积分因子,并求解方程. 2、已知f(x,y)在R:x?x0?a,y?y0?b(a?0,b?0)上连续,且关于y满足3?y0,n?0?李普希兹条件.又 yn(x)?? xy?f(t,y(t))dt,n?1,2,3,?n?1??0?x0当x?x0?h时yn(x)连续.求证:?yn(x)?在x?x0?h上一致收敛. 3、求方程y''?y'?2y?cos2x的通解. 4、设x1(t),x2(t),?,xn?1(t)是方程x'?A(t)x?f(t)的n?1个线性无关解,其中,f(t)?0,求证方程组的任何解x(t)恒可表示成 x(t)?a1x1(t)?a2x2(t)???an?1xn?1(t) ① 其中a1,a2,?,an?1是常数,且满足关系式 a1?a2???an?1?1 ② 反之,满足②式的函数①也必是方程组的解. 五、综合题(本题共30分) 1.火车沿水平的道路运动,火车的重量是p,机车的牵引力是F,运动时的阻力??a?bv,其中a,b是常数,而v是火车的速度;s是走过的路程.试确定火车的运动规律,设t?0时,s?0,v?0. 2. 求方程组x'?A(t)x?f(t)的解?(t),其中?(0)?0, ?0A???0???6授课教师命题教师或命题负责人签字 10?11 0??0???1?,f(t)?0. ????t??6???e??院系负责人签字 年 月 日 年 月 日

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