《常微分方程》课程试题(A卷)

优选专业年级 信息与计算科学 06级 学号 姓名 授课教师 高存臣 座号

中国海洋大学 2008-2009学年 第一学期 期末考试试卷

学院《常微分方程》课程试题(A卷) 共 ３ 页 第 1 页 考试说明：本课程为闭卷考试，可携带 计算器、圆规、直尺、半圆仪 文具，满分为：100分。 题号 得分 一 二 三 四 五 总分 -------------------------------装装--------------------------------订订--------------------------------线线-------------------------------- -一、选择题（本题共10分） 1、微分方程dy?f(x,y)的( )称之为微分方程的积分曲线． dx(A)斜率f(x,y)； (B)解曲线y??(x)； (C) y的微分f(x,y)dx； (D) (A)(B)(C)都不对． 2、方程M(x,y)dx?N(x,y)dy?0有只与y有关的积分因子的充要条件为下面哪一个( )． (A) 1?M?N1?M?N(?)??(y)； (B) ?(?)??(y)； N?y?xM?y?x1?M?NN?M?N(?)??(y)； (D)(?)??(y). N?y?xM?y?x (C) ? 3、对于一阶微分方程dy?f(x,y)，R=x?x0?a，y?y0?b．作皮卡序列 dx??0(x)?y0?x, ??(x)?y?f(x,?(x))dx,(x,y)?R0n?100?x0??n决定?n(x)一致收敛的条件是( ) (A) f(x,y)在R上连续； (B)f(x,y)在R上关于y满足李普希茨条件； (C)f(x,y)在R上关于x满足李普希茨条件；(D)f(x,y)在R上关于y连续． word d4xd2x 4、方程4?22?x?0的通解为（ ）. dtdtt2tt2t（A）x?(c1?c2t)e?(c3?c4t)e； （B）x?c1e?c2e； （C）x?(c1?c2t)cost?(c3?c4t)sint； (D)x?c1cost?c2sint. 5、给定常系数线性微分方程组x'?Ax，如果A的特征值的实部都是负的，则它的任一解当t??时，都趋于（ ）． (A) 零； (B) 一个固定的常数； (C) 无穷大； (D) 保持有界． 二、判断题（本题共10分） 1、形式为y 2、方程(n)?f(x,y,y',?,y(n))的方程称为n阶常微分方程．( ) dyax?b1y?c1?f(1)可化为变量分离方程．( ) dxa2x?b2y?c2 3、若函数f(x,y)在区间R:x?x0?a，y?y0?b上关y偏导数f'y(x,y)连续，则f(x,y)在R上必关于y满足李普希茨条件.( ) 4、若函数x1(t),?,xn(t)在区间a?t?b上线性相关，则在a?t?b上它们的伏朗斯基行列式恒等于零．（ ） 5、方程组x'?A(t)x一定存在n个线性无关的解．( ) 三、填空题（本题共10分） 1、如果函数y??(x)代入方程F(x,y,y',?,y(n))?0后，能使它变为恒等式(n)( )，则称( )为方程F(x,y,y',?,y)?0的解． 2、形如( )的方程称为齐次方程，其中（ ）函数． 3、方程dy?2y?x的解的存在且唯一的区域为（ ）. dxd3x 4、方程3?x?0的通解为（ ）． dt 5、x'?A(t)x的（ ）称为x'?A(t)x的一个基本解组. 显然，x'?A(t)x具有（ ）个不同的基本解组． word 四、简答题（本题共40分） 1、求方程(x?2y)dx?(x?1)dy?0的积分因子，并求解方程． 2、已知f(x,y)在R:x?x0?a,y?y0?b(a?0,b?0)上连续，且关于y满足3?y0,n?0?李普希兹条件．又 yn(x)?? xy?f(t,y(t))dt,n?1,2,3,?n?1??0?x0当x?x0?h时yn(x)连续．求证：?yn(x)?在x?x0?h上一致收敛． 3、求方程y''?y'?2y?cos2x的通解. 4、设x1(t),x2(t),?,xn?1(t)是方程x'?A(t)x?f(t)的n?1个线性无关解，其中，f(t)?0，求证方程组的任何解x(t)恒可表示成 x(t)?a1x1(t)?a2x2(t)???an?1xn?1(t) ① 其中a1,a2,?,an?1是常数，且满足关系式 a1?a2???an?1?1 ② 反之，满足②式的函数①也必是方程组的解． 五、综合题（本题共30分） 1．火车沿水平的道路运动，火车的重量是p，机车的牵引力是F，运动时的阻力??a?bv，其中a,b是常数，而v是火车的速度；s是走过的路程．试确定火车的运动规律，设t?0时，s?0，v?0． 2. 求方程组x'?A(t)x?f(t)的解?(t)，其中?(0)?0， ?0A???0???6授课教师命题教师或命题负责人签字 10?11 0??0???1?，f(t)?0． ????t??6???e??院系负责人签字 年 月 日 年 月 日

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