江苏省宿迁市重点中学2015届高三下学期期初开学联考 数学

又h(0)=0，∴当x??0,???时，恒有h(x) ＜h(0)=0,[ 即x2 – ln(x+1) ＜x3恒成立. 故当x??0,???时,有f(x) ＜x3.. ∵k?N?,?n1111??0,???,取x?,则有f()?3,

kkkk1111 ∴?f()＜1?3?3?......?3,故结论成立。

k23nk?122

20解：（1）在S2n＝3nan＋Sn－1中分别令n＝2，n＝3，及a1＝a得

(a＋a2)2＝12a2＋a2，(a＋a2＋a3)2＝27a3＋(a＋a2)2，

因an≠0，所以a2＝12－2a，a3＝3＋2a． ????2分 因数列{an}是等差数列，所以a1＋a3＝2a2，即2(12－2a)＝a＋3＋2a，解得a＝3．?4分 3n(n＋1)3n(n－1)2经检验a＝3时，an＝3n，Sn＝，Sn－1＝满足S2＝3n2an＋Sn－n1． 22

222222（2）由S2n＝3nan＋Sn－1，得Sn－Sn－1＝3nan，即(Sn＋Sn－1)(Sn－Sn－1)＝3nan，

即(Sn＋Sn－1)an＝3n2an，因为an≠0，所以Sn＋Sn－1＝3n2，(n≥2)，① ??6分 所以Sn＋1＋Sn＝3(n＋1)2，②

②－①，得an＋1＋an＝6n＋3，(n≥2)．③ ????8分 所以an＋2＋an＋1＝6n＋9，④ ④－③，得an＋2－an＝6，(n≥2)

即数列a2，a4，a6，?，及数列a3，a5，a7，?都是公差为6的等差数列， ???10分 因为a2＝12－2a，a3＝3＋2a．

??a，n＝1，

所以an＝?3n＋2a－6，n为奇数且n≥3， ????12分

??3n－2a＋6，n为偶数，

要使数列{an}是递增数列，须有

a1＜a2，且当n为大于或等于3的奇数时，an＜an＋1，且当n为偶数时，an＜an＋1， 即a＜12－2a，

3n＋2a－6＜3(n＋1)－2a＋6(n为大于或等于3的奇数)， 3n－2a＋6＜3(n＋1)＋2a－6(n为偶数)，

915915

解得＜a＜．所以M＝(，)，当a∈M时，数列{an}是递增数列． ???16分

4444综上所述，对任意正整数c，存在“4次方数列”{an}(n∈N*)和正整数p，使得

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ap＝c. ………………… 16分

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