大学物理实验讲义-张家港校区

别为?1?0.8mm，?2?0.7mm。试比较两个测量结果精度的高低。

解：E1??1L1?100%?0.8?100%?0.8%， 100.0E2??2L2?100%?0.7?100%?0.9% 80.0从绝对误差的角度看，第一个量测量值的误差大于第二个量的误差；但从相对误差的角度来看，第一个量的测量精度却高于第二个量。

1．3 精度

精度又称为精确度，用来描述测量结果与真值的接近程度。它是一个定性的概念，不能用数值大小来表示，只能讲高低。主要分为

一、精密度

精密度用来描述测量结果中随机误差的大小程度，即在一定条件下，进行多次重复测量时，各测量值之间的接近程度。精密度反映随机误差大小的程度。

二、正确度

正确度用来描述测量结果与真值的偏离程度，它反映系统误差的大小程度。

三、准确度（精确度）

准确度反映系统误差与随机误差综合大小程度。准确度高说明测量结果既精密又正确。 通过图1-1打靶弹着点的分布图，可以形象地说明上述三个概念。图中（a）表示精密度高，正确度低；图（b）表示正确度高，精密度低；图（c）表示正确度与精密度都高，即准确度高，或精度高。

（a） （b） （c） 图1-1 精度示意图

1．4 测量不确定度

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由于真值的未知性，使得测量误差的大小与正负难以确定。因此，在对测量结果的质量进行定量评定时，往往只是给出误差以一定的概率出现的范围。而这个用来定量评定测量结果质量的参数，即为测量不确定度。

测量不确定度是表征合理赋予被测量值分散性的一个参数。测量不确定度的来源较多，因而测量不确定度是由许多分量组成的。而评定各分量值的方法各不相同，按评定方法一般可将其分为两大类：

一、Ａ类不确定度

用统计方法评定的不确定度称为Ａ类不确定度，用uA表示。

二、Ｂ类不确定度

用非统计方法评定的不确定度称为Ｂ类不确定度，用uB表示。

不确定度的分类是按评定方法进行的。它们都基于概率分布，都用方差或标准差表征，称为标准不确定度。其中Ａ类标准不确定度由观测列概率分布导出的概率密度函数得到；Ｂ类标准不确定度由一个认定的或假定的概率分布函数得到。不确定度的分类方法与误差分类相比，避免了由于误差之间界限不绝对，在判断和计算时不易掌握的缺点。评定不确定度时，不考虑影响不确定度因素的来源与性质，只考虑评定方法，从而简化了分类，便于评定与计算。

1．5 有效数字

一、定义

有效数字是指能正确表达某物理量数值和精度的一个近似数，由准确数字和可疑数字组成。（如果该数值绝对误差界是最末位数据的半个单位，那么从这个近似数左边第一个非零数字起到最后一位数字止，都叫有效数字。）

为了便于理解，举一例子加以说明。如图1-1所示，用最小刻度为1mm的米尺测量一物体的长度，不同的测量者测得结果不同，可能为2.55cm，2.56cm，2.57cm等。其中，前两位数是根据米尺的刻度准确读出的，不随观测者变化，是可靠的，称之为准确数字，最后一位数是在两个刻度之间估计读出的，随观测者个人情况可能略有不同，显然是不准确的，称为可疑数字。尽管可疑数字不准确，但它能客观、合理地反映出该物体比2.5cm长，比2.6cm短的事实，是有效的。因此，测量结果的有效数字是由若干位准确数字和一位可疑数字组成的。

0 1 2 3 4 5

图1-1 长度测量示意图

二、有效数字应注意以下几个问题：

1．有效数字与测量条件密切相关

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从上面测量结果可以看出，测量结果的有效数字位数由测量条件和待测量的大小共同决定。对于大小已定的物理量，测量仪器的精度越高，有效数字位数越多，因此，有效数字可以在某种程度上反映出测量仪器的精度。例如，上述物体的长度，用米尺测量是3位有效数字，而采用1/50游标卡尺测量，可得4位有效数字，用千分尺测量，可得5位有效数字；当测量条件一定时，待测量越大，有效数字位数越多。

2．数字“0”在有效数字中的作用

“0”在数据中的位置不同，可能是有效数字，也可能不是有效数字。如，0.03020m这个数中共有4个“0”，其中数字“3”前面的两个“0”只用来表示小数点位置，不是有效数字，而其余两个“0”是有效数字，即数字中间和末尾的“0”是有效的。

既然数字末尾的“0”是有效数字，那么就不能在数字的末尾随意加0或去掉0，否则物理意义将发生变化。要注意，一个物理量的测量值和数学上的一个数意义是不同的。数学上，0.0302m与0.03020m没有区别，但在物理上，0.0302m≠0.03020m，因为0.03020m中的“2”是准确测量出来的，是可靠的，而0.0302m中的“2”则是可疑数字，是不准确的。

由于数字“3”前面的两个“0”只用来表示小数点位置，不是有效数字，那么数字0.03020m、3.020cm、30.20mm的有效数字都是4位。因此，在十进制单位进行换算时，有效数字的位数不应发生变化。如，3.5A的电流值，若用mA单位表示，不能写成3500mA，而应采用科学记数法，写成3.5?103mA。

3．不确定度有效数字的确定

一般情况下绝对不确定度只取1位有效数字，对重要的、比较精密的测量或其他特殊情况，可取2位或2位以上有效数字，相对不确定度可取1～2位。本教材如无特殊说明，绝对不确定度取1位有效数字，相对不确定度取2位有效数字。

4．有效数字的确定

对于直接测量，有效数字的确定，实际上就是如何读数的问题。

由于测量结果的有效数字应是由若干位准确数字和一位可疑数字组成的，因此，从测量仪器上读取数据时应注意完整性，即除了读取整刻度数值外，还应进行整刻度以下的估读。特别是读取的数据数值恰好为整数时，则需在后面补“0”，一直补到可疑位为止。例如，上述物体的末端恰好与刻度25mm对齐时，则测量结果应记为2.50cm，而不能写为2.5cm。总之，直接测量读数的原则是：应读到仪器产生误差的那一位。

对于间接测量，中间运算过程中，由于参与运算的量可能很多，有效数字的位数可能不一致，使得数据计算显得繁琐和复杂。为了简化运算过程，同时又不会造成过大的计算误差，一般可采用以下规则进行运算：

（1） 进行加减运算时，应以参与运算各数据中末位数数量级最大的数据为准，其余各数据在中间计算过程中向后可多取一位，最后结果与末位数数量级最大的那一位对齐。例如，71.3-0.753+6.262+271=71.3-0.8+6.3+271=347.8=348

（2）进行乘除法运算时，以参与运算各数据中有效数字位数最少的为准，其余数字在中间运算过程中可多取一位有效数字，最后结果的有效数字与有效数字位数最少的那个数相同。例如：39.534.0843730.0013=39.534.0830.0013=0.21

乘方和开方运算规则与乘除法运算规则相同，即结果的有效数字与被乘方、开方数的有效数据位数相同。例如，1.40=1.96，200?14.1

（3）进行函数运算时，结果有效数字一般可根据间接测量不确定度计算公式进行计算来确定（参见2．4）。对常用的函数，也可按简单规则确定。如，对数函数运算结果的有效数字中，小数点后面的位数与真数的有效数字位数相同。例如，lg1.983?0.2973；指数函数运算结果的有效数字中，小数点后面的位数与指数中小数点后面的位数相同。例如，

2

10

106.25?1.79?106。

（4）间接测量计算过程中，计算公式中还会遇到自然数与常量，例如，球体的面积S与半径R有关系式S?4?R2。式中“4”是自然数，?是常量。自然数不是测量得到的，不存在误差，故有效数字是无穷多位，而不是一位；常量在运算过程中有效数字位数，不能少于参与运算的各数据中有效数字位数最少的那个数据，一般可以多取1位。

上述所述有效数字的运算规则，只是一个基本原则。实际问题中，为了防止取舍所造成的误差过大，常常在运算过程中多取几位，特别是随着计算机和计算器的普及，这种处理不会带来太多的麻烦，只是在最后结果根据不确定度所在位进行截断。

三、有效数字的舍入规则

1、测量数据中打算舍弃的最左一位数字小于5 时则舍去，欲保留的各位数字不变。例如数据3.1448 取三位有效数字时为3.14。

2、测量数据中打算舍弃的数字的最左一位数字大于5 (或等于5 而其后跟有非全部为0 的数字时)，则应进一，即保留数字的末位加1。如3.1465001 取二位有效数字时为3.1，取三位有效数字时为3.15，取四位有效数字时为3.147。

3、测量数据中打算舍去的最左一位数字为5，而它后面无数字或全部为0 时，若所保留数字的末位为奇数则进一，为偶数或0 则舍弃。如数据3.1050 取三位有效数字为3.10，数据3.15 取二位有效数字则为3.2

4、负数修约时，先将它的绝对值按上述123规定进行修约，然后在修约值前加上负号。 以上对有效数字的修约规则可以归纳为一句话：“四舍、大于五入、缝五凑偶”。 对仪器误差限、标准差及不确定度的最后结果，在去掉多余位时，一般只入不舍。 如计算不确定度时计算数据为0.0316，取一位有效数字时为0.04

第二节 误差的处理

2．1 随机误差的处理

一、随机误差的分布及其数字特征

1．正态分布及特点

尽管单次测量时随机误差的大小与正负是不确定的，但对多次测量来说却服从一定的统计规律。随机误差的统计分布规律有很多，正态分布是最常见的分布之一。

服从正态分布的随机误差的概率密度函数为

f(?)?1e??22?2?2? （2-1）

或

f(x)?1e??x?x0?22?2?2? （2-1'）

式中，x为测量值；x0为真值；?为误差；f表示在?（或x）附近单位区间内，被测量误差（或测量值）出现的概率。分布曲线如图2-1所示。

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