第3章习题 测试系统的基本特性

解：设x(t)?x1(t)?x2(t)

式中，x1(t)?0.5cos10t,x2(t)?0.2cos(100t?450) 当系统有输入x1(t)时，则输出为y1(t)，且

y1(t)?0.5(?1?1)?12cos(10t?arctg?1?1)

式中， ?1?0.005,?1?10 ，y1(t)?0.499cos(10t?2.860) 同样可求得当输入为x2(t)时，有输出为y2(t)，且

y2(t)?0.17cos(100t?450?26.50)

此装置对输入信号x（t）具有线形叠加性。系统输出的稳态响应为：

y(t)?y1(t)?y2(t)????????0.499cos(10t?2.86)?0.17cos(100t?71.5)00

例6.用一个具有一阶动态特性的测量仪表（τ=0.35s），测量阶跃信号，输入由25单位跳变到240单位，求当t=0.35s，0.7s，2s时的仪表示值分别为多少？ 解：一阶装置的单位阶跃输入时的响应为

Y(s)?H(s)?X(s)??????????111 ???1?s?1sss?????????y(t)?1?e?t?当输入由T1?25跳变至T2?240单位时，输出响应表达式为

y(t)?T1?(T2?T1)(1??)??????????????????????e?t0.35?t

)所以，t=0.35s时，仪表示值为y1(t)?160.9；t=0.7s时，仪表示值为y2(t)?211；t=2s时，仪表示值为y3(t)?239.3。

例7.图示RC电路中，已知C=0.01μF，若ex的幅值为100，频率为10kHz，并且输出端 eg 的相位滞后ex30°，求此时的R应为何值，输出电压幅值为多少？

解：该RC电路为一阶系统，并且τ=RC，则有

1?s?11H(j?)?j???1

1H(j?)?(??)2?1H(s)??(?)??arctg??当eg滞后于ex时，则有

???tg300?33 333R?3??918(?)?64C??0.01?10?2??10由于

Y0?A(?) Z0ex(??)?12输出eg的幅值为:eg??100(918?10?2??10)?1?84286.6(V)

例8.用图示装置去测周期为1s，2s，5s的正弦信号，问幅值误差是多少？（R=350Kω，C=1μF）

解：根据基尔霍夫定律

1i(t)dt?Ri(t) ?Cu(t)并且 uo(t)?Ri(t),i(t)?o

R1u(t)所以有 ui(t)?uo(t)??odt

CR因为 ui(t)?两边拉氏变换后得

Ui(s)?Uo(s)?Uo(s)RCsUo(s)1RCs H(s)???Ui(s)1?11?RCsRCs这是一个高通滤波器，当??RC?350?103?10?6?0.35时

0.35s0.35s?1j0.35?H(j?)?j0.35??1H(s)?H(j?)?A(?)?0.35?(0.35?)2?1

幅值相对误差：r?Xo?YoY?1?o?[1?A(?)]?100% XoXo式中 Xo ——输入信号幅值； Yo ——输出信号幅值。

当T=2s时，?1?2?f?2??1?2?,A(?1)?0.91,r1?9% T当T=1s时，?2??,A(?2)?0.74,r2?26%

2当T=5s时，?3??,A(?3)?0.4,r3?60%

5241?n1.5例9.试求传递函数为和2的俩每个个环节串联后组成的2s?1.4?ns??n3.5s?0.5系统的总灵敏度。

解：求当S=0时的两传递函数之值

241?n1.5?3.0;223.5s?0.5s?0s?1.4?ns??n?41

s?0两环节串联后系统的总灵敏度为

S=3.0×41=123

例10.用一个一阶系统作100Hz正弦信号的测量，如果要求限制振幅误差在5％以内，则时间常数应取多少？若用具有该时间常数的同一系统作50Hz的正弦信号测试，问此时振幅误差和相角差是多少？ 解：（1）振幅相对误差限制在5%以内，则

r?Xo?Yo?1?A(?)?5%Yo1(??)?122A(?)?2?0.95

?1?(??)????1?0.1080.95??当 ??2?f?2??100?200? 则 ??0.108?4?5.23?10(s)?523(?s) 2(200?)（2）振幅的相当误差为

r?1?A(?90)?100%??????且相角差为

??????????????????)2?1.3%