数与代数课标解读

其实在教学当中，可能老师们也都有这样的感受，就是每一个孩子经历从算术到代数的这种认识的转变，都会是一个很艰难的一个过程。而且这个转变，对孩子们来说通常都不会是很快就完成的，需要经历一个比较漫长的过程。我想这也体现了孩子们认知的一个客观的特点，需要我们老师们充分的给予关注，并且给孩子漫长的转变过程、提升过程，创造条件，并且给予一些必要的辅导。

下面以一些具体的案例和老师们交流一下。《用字母表示数》这节课老师们都非常熟悉。在这节课当中，老师一上来就给孩子们带来一个神奇的魔盒，一下子就抓住了孩子们的兴趣点。一个数进去之后进行加工，出来了一个数，好像看不出什么。换了一个数再加工又出来了一个，先后进去几个不同的数，出来的数有规律，孩子自然而然地就感受到了这个魔盒神奇的地方所在，也就感受到了数的一种统一的变化规律。

在这之后呢，就是数青蛙的活动，这也是很多教材的一种呈现方式。孩子们随着一只青蛙、两只青蛙、三只青蛙，以及很多只青蛙数的过程当中就会感受到：几只眼睛，几张嘴，几条腿，数起来，用数总这样表示下去有困难，自然而然也就产生了希望寻求一种新的方式来表达这种规律的认知需求。这个时候老师把机会和空间留给了孩子们，给每个孩子这样一个小条，请你来填一填，根据你的思路，几只青蛙，几张嘴，几只眼睛，几条腿。于是孩子们不同的认知水平，也可以说我们课堂上丰富的课程资源就在这个填空的过程当中呈现了。有的孩子写无数只，都是无数只，只要这样数下去。有的孩子就写a 只青蛙b 张嘴，c 只眼睛 d条腿。是不太一样，但是也都用字母来表示了。也有的孩子说a 只青蛙 a 张嘴，b 只眼睛c条腿。从这就能看出，孩子已经能够关注到这个只数和嘴数是相关的，所以在选用字母的时候他也一定有自己的思考。也有的孩子说a 只青蛙 a 张嘴，aa 只眼睛aaaa条腿。其实很儿童化的一种表示方式，已经展现出了孩子对字母以及抽象的这样的一种理解水平。当然也有的孩子能够达到这种水平，a 只青蛙 a 张嘴， 2a 只眼睛 4a 条腿。

老师在这节课当中呈现了学生不同的思维层次。第一个学生我们看到他还没有走近用字母来表示数，而且他只停留在用语言来描述数量以及它们之间的关系。而第二个孩子他已经逐渐地开始走近了用字母表示数，但是他没有表示出数量关系。第三个孩子走近了“用字母表示数”，而且有了一定的数量关系，但是还不全面。到了第四个孩子，应该说不仅走近了“用

字母表示数”，而且他还明白了数量之间的这种关系，但是表示得还不够准确，还需要教师的引导。 那么最后一个孩子，应该说他是完全走进了“用字母表示数”，而且能够准确地用字母来表示出数量之间的这种关系。

在这节课上，最重要的、特别宝贵的就是老师把孩子们这些不同的认知水平的素材都拿到课堂上，和孩子们一起探讨，一起去交流，在对比当中让孩子们感觉到这些不同方法，它们哪一种更好，它们表示的意思有什么不同？其实这个过程就是在帮助孩子们从算术思维逐渐地走向代数思维的一个重要的过程。

第三点建议就是，抓住方程思想的本质、核心，体现它的价值和意义。 那到底什么是方程呢？教材为我们呈现的概念是，含有未知数的等式就叫做方程。那么西南大学的陈重穆教授呢，也有他的想法。他认为：教材这样的定义要淡化，不要记，更无需背，更不要考，关键在于理解方程思想的本质，它的价值和意义。

比如函数也是含有未知数的等式，我们教材当中许多的数量关系，也都是用关系式的形式来呈现的，如s=vt，就容易和方程混淆。用字母来表示运算定律也存在这样的问题， 如a+b=b+a，那它是不是方程呢？还有我们老师经常有争议的，孩子们也经常会写的x=0，到底是不是方程？其实这些在我们小学阶段，我们是不研究的，因为它不能够帮助我们寻求未知的信息。

那在我们小学要研究的，应该说是，为了寻求未知数，在未知数和已知数之间建立起来的等式关系。应该说方程是一种关系，它的特征是“等式”的关系，这种等式的关系，就把未知数和已知数联系了起来。我们借助这一关系，就可以帮助我们去寻求未知数。所以方程的核心是要求未知数，是把未知当成已知来对待，并且参与到运算当中，进而求出未知数。而教材的定义呢，应该说恰恰没有很好的体现出这一点。所以我想在教学当中，我们不仅要让孩子知道含有未知数的等式是方程，更应该抓住方程的本质、方程的核心，它的价值所在。也就是我们的数学教学不应该仅仅的把目光放在形式化的定义上，而是真正的把握好它的核心的内涵，和孩子们共同地朝着理解内涵的方向去不断地努力。

在实践当中，我想关于方程教学这一部分，孩子们确实会经常出现很多各种各样的困难和困惑，老师们也都有自己的想法。比如说，有关方程很普遍的一个现象，就是孩子们不能够很快地理解已知数和未知数之间的

这种平等的关系。其实这种平等的关系恰恰标志着孩子从算术思维向代数思维过渡的一个水平，比如教学中可能经常会有孩子列出这样的方程，你非要让我用含有未知数的等式写，那就x=100-20×3，反正也符合要求了，但是很显然，这是一个披着代数思维外衣的一种算术解法。这仅仅是一个算术解法，只不过是换了一个形式。

那针对这个困难点，到底我们该怎样去解决呢？在这里我也提供一个案例供大家分享。

解决办法的第一点，我想能不能利用直观，使孩子去感受“=”表示相等的关系。因为对于孩子来说，从一年级到五年级之前他们认为等号就是让他写出算式的结果，那对于等号表示左右相等关系的这层意思，应该说在孩子认识的前期阶段还缺少一些感性的认识。在陈千举老师上的《方程》这节课中。吴正宪老师建议：能不能在教具上做些文章，做一个可以让学生到前面动一动的天平模型，充分发挥天平的作用。于是陈老师就很好地借助天平这个直观的教具让孩子充分感受到了等号表示的这种相等的关系。在这节课的前期陈老师是用天平作为直观的一个支撑。在后面的练习当中，吴正宪老师又提出建议：天平教具做得好，能不能用的再充分些？于是，陈老师就把原来的问题：“想一想，你能在图中找到相等的关系吗？”进行了修改。这样就更充分发挥了天平的主作用。针对图一他提出的问题是：你能像“天平”那样观察图中谁和谁相等吗？这其实就是让一个隐形的天平出现在孩子的脑子当中，其实就是有一个隐形的天平在支撑着他。对于图二他提出的问题是：用相等的式子表示这两幅图中蕴含的“天平”。这样的问题实际上就是让孩子在思考问题的过程当中，借助这个隐形的天平来感受等号左右两边相等的关系。这样，通过老师有效的练习，就更充分发挥了天平的主作用，也就可以帮助孩子更好地去理解。

解决办法的第二点，就是将模型与生活建立起联系。这节课，在吴老师的建议下，陈老师还让学生结合方程来讲故事。陈老师请一名学生和自己站在一起，问：我们两个往这儿一站，有方程吗？然后让孩子去构造方程。在这个过程中，孩子根据老师和学生的身高，老师和学生的年龄，老师和学生的体重，真的构造出了不同的方程。这就是把孩子需要的方程植入到生活的实际情境当中，更近一步的来理解。

我和老师们分享的第三个方法，是把算术方法和方程方法进行有效的比较，在对比中强化孩子对方程的认识和理解。这种方法我觉得在实践当

中老师们用的也比较多。在我们有关方程的教学当中，刚才已经和老师们看了一个孩子们普遍存在的一个困难，这个例子刚才已经看过了，就不再解读了。 另外一个困难，看上去是一个形式的困难，但实际上反映出的也是一个孩子对方程的理解上的一个认识的差距，就是孩子在书写格式上总是容易出现各种各样的问题。尤其是类似这样的x+6=10=10-6=4 ，很显然孩子的这种变换方式，他是停留在这种恒等的变换方式上，并没有提升到对同解的变换的这种理解。我想这种形式上的书写格式上的问题也不容我们忽视，也应该透过这种现象去分析孩子在认识以及理解水平上的一些差异，给予孩子一些更深层次的指导，而不是仅仅停留在“这样写不对，你擦了重新写，要这样来写”而已。

对这一问题，我们有没有更好的解决的办法呢?我想能不能更好地去发挥等式的作用呢。因为孩子在学等式的性质之前，如果借助四则运算各部分之间的关系，它同样也能够达到解方程，但是它毕竟还是停留在算术的思路上，还没有迈向方程思想，所以这样的话，利用四则运算各部分之间的关系，可以，但它不利于中小的衔接，也更不利于孩子到中学学习的一个起步。所以这样的话呢，我们可以借助等式的性质，更好地让孩子去体验、感受方程左右两边相等的这种关系。这样就从表示等量关系、保持等量关系，再到求得方程的解，应该说个过程就体现了方程的结构的特点，也更好、更有利于孩子去理解、感受方程的这种本质。这样这个心里的天平就从始至终地发挥着重要的作用。

那针对方程的教学，也和老师们分享两个教学建议。第一点建议就是准确地把握内容定位，正确地理解其价值。那这个定位是不是就指：关于老师们在教学当中说的，等式的性质解方程有的时候并不好用，我是不是只要用代数方法，算术关系让孩子们能解出来就行了。对于这个问题，我想还是需要我们不断地提升对“用等式的性质解方程这样的一个教学要求的价值” 的深入的理解，进而更好地来设计我们自己的教学。第二点建议就是有效地开发教学内容，为学生代数思维的形成应该做好前期的铺垫和孕伏。

关于方程教学的交流，我就交流到这，下面请艾主任和老师们交流第四个话题“如何在正反比例教学中体现函数思想？”。

四、如何在正反比例教学中体现函数思想。