高考数学一轮复习 第三章 三角函数、解三角形 第四节 三角函数的图象与性质学案 文

π5π

解之得2kπ＋≤x<2kπ＋，k∈Z.

36

π5π??即函数的定义域为?2kπ＋，2kπ＋?，k∈Z.

36??(2)要使函数有意义，

?

必须有?π

x≠＋kπ，k∈Z，?2?

?tanx－1≠0，

π

x≠＋kπ，k∈Z，??4即?π

x≠??2＋kπ，k∈Z.

ππ

故函数的定义域为{x|x≠＋kπ且x≠＋kπ，k∈Z}．

42π5π??答案：(1)?2kπ＋，2kπ＋?，k∈Z

36??

???ππ

(2)?x?x≠＋kπ且x≠＋kπ，k∈Z?

42???

热点二 三角函数的值域与最值

13??7

【例2】 (1)函数y＝－2sinx－1，x∈?π，π?的值域是( )

6??6A．[－3,1] C．(－3,1]

2

B．[－2,1] D．(－2,1]

(2)(2017·成都模拟)函数y＝cosx－2sinx的最大值与最小值分别为( ) A．3，－1 C．2，－1

B．3，－2 D．2，－2

13?1?7

【解析】 (1)由正弦曲线知y＝sinx在?π，π?上，－1≤sinx<，所以函数y＝－

6?2?62sinx－1，x∈?

2

?7π，13π?的值域是(－2,1]．

?6??6

2

(2)y＝cosx－2sinx＝1－sinx－2sinx ＝－sinx－2sinx＋1， 令t＝sinx，则t∈[－1,1]，

2

y＝－t2－2t＋1＝－(t＋1)2＋2，

所以ymax＝2，ymin＝－2. 【答案】 (1)D (2)D

?ππ?本例(2)中若x∈?－，?，则函数的值域又是怎样变化呢？ ?44?

解：y＝－sinx－2sinx＋1，令t＝sinx∈?－

2

??22?，?. 22?

??y＝－(t＋1)2＋2∈?－2，＋2?.

?

【总结反思】 (1)形如y＝asinx＋bcosx＋c的三角函数化为y＝Asin(ωx＋φ)＋c的形式，再求值域(最值)；(2)形如y＝asinx＋bsinx＋c的三角函数，可先设sinx＝t，化为关于t的二次函数求值域(最值). 21

?2

12

(1)函数y＝2sin?A．2－3 C．－1

?πx－π?(0≤x≤9)的最大值与最小值之和为( )

?3??6

B．0 D．－1－3

?π?(2)(2016·新课标全国卷Ⅱ)函数f(x)＝cos2x＋6cos?－x?的最大值为( )

?2?

A．4 C．6

解析：(1)∵0≤x≤9，∴－

B．5 D．7

π??πππ7π3??π

≤x－≤，∴sin?x－?∈?－，1?.

3??23636?6?

∴y∈[－3，2]，∴ymax＋ymin＝2－3.

32112

(2)f(x)＝1－2sinx＋6sinx＝－2(sinx－)＋，因为sinx∈[－1,1]，所以当sinx＝

221时，f(x)取得最大值，且f(x)max＝5.

答案：(1)A (2)B

热点三 三角函数的单调性、奇偶性、周期性、对称性 考向1 三角函数的周期性

3π?2?【例3】 (1)函数y＝1－2sin?x－?是( ) 4??A．最小正周期为π的奇函数

B．最小正周期为π的偶函数 π

C．最小正周期为的奇函数

2π

D．最小正周期为的偶函数

2

π??(2)若函数f(x)＝2tan?kx＋?的最小正周期T满足1

4?4???＝－sin2x，所以f(x)是最小正周期为π的奇函数．

π

(2)由题意知，1<<2，即k<π<2k.又k∈N，所以k＝2或k＝3.

k【答案】 (1)A (2)2或3 考向2 三角函数的单调性

π??【例4】 (1)(2017·银川模拟)函数f(x)＝sin?－2x＋?的单调减区间为________． 3??

?π??ππ?(2)若函数f(x)＝sinωx(ω>0)在区间?0，?上单调递增，在区间?，?上单调递减，

3???32?

则ω等于( )

2

A. 3C．2

3B. 2D．3

π??【解析】 (1)由已知函数为y＝－sin?2x－?，欲求函数的单调减区间，只需求y＝3??π??sin?2x－?的单调增区间．

3??

πππ

由2kπ－≤2x－≤2kπ＋，k∈Z，

232π5π

得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z.

1212

π5π??故所给函数的单调减区间为?kπ－，kπ＋?(k∈Z)．

1212??

ππ

(2)因为f(x)＝sinωx(ω>0)过原点，所以当0≤ωx≤，即0≤x≤时，y＝sinωx22ω是增函数；

当

π3ππ3π

≤ωx≤，即≤x≤时，y＝sinωx是减函数． 222ω2ω

ππ?π??ππ?由f(x)＝sinωx(ω>0)在?0，?上单调递增，在?，?上单调递减知，＝，所

3?2ω3??32?

3

以ω＝. 2

π5π??【答案】 (1)?kπ－，kπ＋?(k∈Z) (2)B 1212??考向3 奇偶性与对称性

π?3π?【例5】 当x＝时，函数f(x)＝sin(x＋φ)取得最小值，则函数y＝f?－x?( ) 4?4?

?π?A．是奇函数且图象关于点?，0?对称

?2?

B．是偶函数且图象关于点(π，0)对称 π

C．是奇函数且图象关于直线x＝对称

2D．是偶函数且图象关于直线x＝π对称

π

【解析】 ∵当x＝时，函数f(x)取得最小值，

4π3π??∴sin?＋φ?＝－1，∴φ＝2kπ－(k∈Z)．

4?4?3π???3π?∴f(x)＝sin?x＋2kπ－?＝sin?x－?.

4?4???∴y＝f?∴y＝f?

?3π－x?＝sin(－x)＝－sinx.

??4?

?3π－x?是奇函数，且图象关于直线x＝π对称．

?2?4?

【答案】 C 【总结反思】 1．求三角函数单调区间的2种方法 (1)代换法：就是将比较复杂的三角函数含自变量的代数式整体当作一个角u(或t)，利用基本三角函数的单调性列不等式求解． (2)图象法：画出三角函数的正、余弦曲线，结合图象求它的单调区间． 提醒：求解三角函数的单调区间时若x的系数为负应先化为正，同时切莫漏掉考虑函数自身的定义域． 2．三角函数奇偶性、对称性的判断方法 (1)若f(x)＝Asin(ωx＋φ)为偶函数，则当x＝0时，f(x)取得最大或最小值；若f(x)＝Asin(ωx＋φ)为奇函数，则当x＝0时，f(x)＝0. (2)对于函数y＝Asin(ωx＋φ)，其对称轴一定经过图象的最高点或最低点，对称中心一定是函数的零点，因此在判断直线x＝x0或点(x0,0)是否是函数的对称轴或对称中心时，可通过