高考数学一轮复习 第三章 三角函数、解三角形 第四节 三角函数的图象与性质学案 文

第四节 三角函数的图象与性质

1.能画出y＝sinx，y＝cosx，y＝tanx的图象，了解三角函数的周期性．

2．理解正弦函数、余弦函数在[0,2π]上的性质(如单调性、最大值和最小值，图象与x?ππ?轴的交点等)，理解正切函数在区间?－，?内的单调性． ?22?

知识点一 周期函数与最小正周期

对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有____________，则称f(x)为周期函数，T为它的一个周期．若在所有周期中，有一个最小的正数，则这个最小的正数叫做f(x)的最小正周期．

答案

f(x＋T)＝f(x)

1．下列函数中，以π为周期的偶函数是( ) A．y＝sin2x B．y＝cos 2C．y＝sin 2

xxD．y＝cos2x

解析：由正余弦函数周期求解公式可知y＝sin2x，y＝cos2x的周期为π，y＝cos，y2＝sin的周期为4π，其中y＝cos2x是偶函数．

2

答案：D

2．(2016·山东卷)函数f(x)＝(3sinx＋cosx)(3cosx－sinx)的最小正周期是( ) A.π 2

B．π

xx

C.

3π 2

D．2π

2

2

解析：通性通法：由题意得f(x)＝3sinxcosx－3sinx＋3cosx－sinxcosx＝sin2x＋π2π

3cos2x＝2sin(2x＋)．故该函数的最小正周期T＝＝π.故选B.

32

π??π??π??光速解法：由题意得f(x)＝2sin?x＋?×2cos?x＋?＝2sin?2x＋?，故该函数的最小

6?6?3????2π

正周期T＝＝π，故选B.

2

答案：B

知识点二 正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质

函数 y＝sinx y＝cosx y＝tanx 图象 定义域 R R π{x|x≠＋kπ， 2k∈Z} 值域 ________ 递增区间： 单调性 ___________________ 递减区间： ___________________ x＝______________时，ymax＝1 最值 x＝______________时，ymin＝－1 奇偶性 ________ 对称中心 对称性 ____________ 对称轴l ________________ ________ 递增区间： ________________ 递减区间： ________________ x＝__________时，ymax＝1 x＝____________时，ymin＝－1 ________ 对称中心 ________________ 对称轴l ____________ 递增区间： ________________ ____ 无最值 ________ 对称中心 ____________ 无对称轴

周期 ____ 答案 [－1,1] [－1,1] R [2kπ－

____ ____ πππ3

，2kπ＋](k∈Z) [2kπ＋，2kπ＋π](k∈Z) 2222

ππ

[2kπ－π，2kπ](k∈Z) [2kπ，2kπ＋π](k∈Z) (kπ－，kπ＋)(k∈Z)

22

2kπ＋

ππ

(k∈Z) 2kπ－(k∈Z) 2kπ(k∈Z) 2kπ＋π(k∈Z) 奇函数 偶函数 22

πkππ

奇函数 (kπ，0)，k∈Z (kπ＋，0)，k∈Z (，0)，k∈Z x＝kπ＋，k∈Z x＝

222

kπ，k∈Z 2π 2π π

1

3．(必修④P40练习第3(2)题改编)函数f(x)＝4－2cosx的最小值是________，取得最

3小值时，x的取值集合为_____________________．

1

解析：f(x)min＝4－2＝2，此时，x＝2kπ(k∈Z)，x＝6kπ(k∈Z)，所以x的取值集合为

3{x|x＝6kπ，k∈Z}．

答案：2 {x|x＝6kπ，k∈Z}

4．(选修④P40第4题改编)函数y＝4sinx，x∈[－π，π]的单调性是( ) A．在[－π，0]上是增函数，在[0，π]上是减函数

π??π?ππ???B．在?－，?上是增函数，在?－π，－?和?，π?上都是减函数 2??2?22???C．在[0，π]上是增函数，在[－π，0]上是减函数

π??π???ππ?D．在?，π?∪?－π，－?上是增函数，在?－，?上是减函数

2??2???22?

?ππ?解析：由函数y＝4sinx，x∈[－π，π]的图象可知，该函数在?－，?上是增函数，

?22?

π??π??在?－π，－?和?，π?上是减函数． 2??2??

答案：B

?23π?________

5．(必修4P39例4(2)改编)比较大小：cos?－

5????17π?.

cos?－

4???

π3π?23π?＝cos23π＝cos3π，?－17π?＝cos17π＝cosπ，解析：因为cos?－cos又0<

3ππ?23π?

5?54??

?17π?.

答案：<

热点一 三角函数的定义域

【例1】 函数f(x)＝64－x＋log2(2sinx－1)的定义域是________．

??64－x≥0，①

【解析】 由题意，得?

?2sinx－1>0，②?

22

1π5

由①得－8≤x≤8，由②得sinx>，由正弦曲线得＋2kπ

266所以不等式组的解集为

?－11π，－7π?∪?π，5π?∪?13π，8?.

?6????6????66??6?

117??π5??13?－π，－π?∪?，π?∪?π，8?【答案】 ??

6??66??6?6?【总结反思】 求三角函数定义域实际上是构造简单的三角不等式(组)，常借助三角函数线或三角函数图象来求解.

(1)函数y＝lg(2sinx－1)＋1－2cosx的定义域为________． 1

(2)函数y＝的定义域为________．

tanx－1

解析：(1)要使函数y＝lg(2sinx－1)＋1－2cosx有意义，

??2sinx－1>0，则?

?1－2cosx≥0，?

1

sinx>，??2即?1

cosx≤.??2