专题8.1 直线与方程 2020届高考数学一轮复习提分专题Word版含解析

1

即(3k－1)(k－3)≤0，解得≤k≤3.

31

，3?. 即直线l的斜率的取值范围是??3?

【迁移探究2】 若将例1(2)中的B点坐标改为B(2，－1)，其他条件不变，求直线l倾斜角的取值范围. 【答案】见解析

【解析】由例1(2)知直线l的方程kx－y－k＝0， ∵A，B两点在直线l的两侧或其中一点在直线l上， ∴(2k－1－k)(2k＋1－k)≤0， 即(k－1)(k＋1)≤0，解得－1≤k≤1.

π3π

0，?∪?，π?. 即直线l倾斜角的取值范围是??4??4?

【规律方法】 1.由直线倾斜角的取值范围求斜率的取值范围或由斜率的取值范围求直线倾斜角的取值范围时，常借助正切函数y＝tan x在[0，π)上的单调性求解，这里特别要注意，正切函数在[0，π)上并不是单调的.

π

2.过一定点作直线与已知线段相交，求直线斜率范围时，应注意倾斜角为时，直线斜率不存在.

2

【训练1】 若直线l：y＝kx－3与直线2x＋3y－6＝0的交点位于第一象限，则直线l的倾斜角的取值范围是( ) ππ?A.??6，3? ππ?C.??3，2? 【答案】 B

【解析】 直线y＝kx－3恒过点(0，－3)，可作两直线的图象，如图所示，从图中可以看出，直线l的ππ?倾斜角的取值范围为??6，2?.

ππ?

B.??6，2? ππ?D.??3，2?

考点二 直线方程的求法

【例2】 求适合下列条件的直线方程：

(1)经过点P(4，1)，且在两坐标轴上的截距相等；

(2)经过点A(－1，－3)，倾斜角等于直线y＝3x的倾斜角的2倍； (3)经过点B(3，4)，且与两坐标轴围成一个等腰直角三角形. 【答案】见解析

【解析】(1)设直线l在x，y轴上的截距均为a， 若a＝0，即l过点(0，0)和(4，1)， 1

所以l的方程为y＝x，即x－4y＝0.

4xy

若a≠0，则设l的方程为＋＝1，

aa41

因为l过点(4，1)，所以＋＝1，

aa所以a＝5，所以l的方程为x＋y－5＝0.

综上可知，直线l的方程为x－4y＝0或x＋y－5＝0.

(2)由已知设直线y＝3x的倾斜角为α，则所求直线的倾斜角为2α. 2tan α3

因为tan α＝3，所以tan 2α＝＝－.

41－tan2 α又直线经过点A(－1，－3)，

3

因此所求直线方程为y＋3＝－(x＋1)，

4即3x＋4y＋15＝0.

(3)由题意可知，所求直线的斜率为±1. 又过点(3，4)，由点斜式得y－4＝±(x－3). 所求直线的方程为x－y＋1＝0或x＋y－7＝0. 【规律方法】

1.在求直线方程时，应选择适当的形式，并注意各种形式的适用条件.

2.对于点斜式、截距式方程使用时要注意分类讨论思想的运用(若采用点斜式，应先考虑斜率不存在的情况；若采用截距式，应判断截距是否为零).

1

【训练2】 (1)求过点A(1，3)，斜率是直线y＝－4x的斜率的的直线方程；

3(2)求经过点A(－5，2)，且在x轴上的截距等于在y轴上截距的2倍的直线方程. 【答案】见解析

【解析】(1)设所求直线的斜率为k，

14

依题意k＝－4×＝－.又直线经过点A(1，3)，

33

4

因此所求直线方程为y－3＝－(x－1)，

3即4x＋3y－13＝0.

xy1

(2)当直线不过原点时，设所求直线方程为＋＝1，将(－5，2)代入所设方程，解得a＝－，所以直线方2aa22

程为x＋2y＋1＝0；当直线过原点时，设直线方程为y＝kx，则－5k＝2，解得k＝－，所以直线方程为y＝

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－x，即2x＋5y＝0.故所求直线方程为2x＋5y＝0或x＋2y＋1＝0. 5考点三 直线方程的综合应用 角度1 与不等式相结合的最值问题

【例3－1】 设m∈R，过定点A的动直线x＋my＝0和过定点B的动直线mx－y－m＋3＝0交于点P(x，y)，则|PA|·|PB|的最大值是________. 【答案】 5

【解析】 由直线x＋my＝0求得定点A(0，0)，直线mx－y－m＋3＝0，即y－3＝m(x－1)，所以得定点1

－?m＝－1，所以两条动直线也垂直，因为PB(1，3).当m＝0时，两条动直线垂直，当m≠0时，因为??m?为直线x＋my＝0与mx－y－m＋3＝0

的交点，所以|PA|2＋|PB|2＝|AB|2＝10，所以|PA|·|PB|≤

|PA|2＋|PB|2

＝2

5(当且仅当|PA|＝|PB|＝5时，等号成立)，所以|PA|·|PB|的最大值是5. 角度2 由直线方程求参数范围

【例3－2】 已知直线l1：ax－2y＝2a－4，l2：2x＋a2y＝2a2＋4，当0

【解析】 由题意知直线l1，l2恒过定点P(2，2)，直线l1的纵截距为2－a，直线l2的横截距为a2＋2，所1?215111?22

以四边形的面积S＝×2(2－a)＋×2(a＋2)＝a－a＋4＝?a－2?＋，又0

2242小.

【规律方法】 与直线方程有关问题的常见类型及解题策略

(1)求解与直线方程有关的最值问题.先设出直线方程，建立目标函数，再利用基本不等式求解最值. (2)求参数值或范围.注意点在直线上，则点的坐标适合直线的方程，再结合函数的单调性或基本不等式求解.

【训练3】 如图，在两条互相垂直的道路l1，l2的一角，有一个电线杆，电线杆底部到道路l1的垂直距离为

4米，到道路l2的垂直距离为3米，现在要过电线杆的底部靠近道路的一侧修建一条人行直道，使得人行道与两条垂直的道路围成的直角三角形的面积最小，则人行道的长度为________米.

【答案】 10

【解析】 如图建立平面直角坐标系，

413－，0?，B(0，4－3k)，所以△ABO的面积S＝(4设人行道所在直线方程为y－4＝k(x－3)(k<0)，所以A??k?24116

3－?＝?24－9k－?， －3k)?k??k?2?因为k<0， 所以－9k－

16

≥2k

16164

－?＝24，当且仅当－9k＝－，即k＝－时取等号.此时，A(6，0)，（－9k）??k?k3

B(0，8)，所以人行道的长度为62＋82＝10米. 【反思与感悟】

在求直线方程时，应先选择适当的直线方程的形式，并注意各种形式的适用条件.用斜截式及点斜式时，直线的斜率必须存在，而两点式不能表示与坐标轴垂直的直线，截距式不能表示与坐标轴垂直或经过原点的直线.故在解题时，若采用截距式，应注意分类讨论，判断截距是否为零；若采用点斜式，应先考虑斜率不存在的情况. 【易错防范】 倾斜角和斜率的范围

(1)倾斜角是一种特殊规定的角，其范围是[0，π)，千万不要与其他角混淆，有些时候要依据图形而定. ππ

0，?和?，π?上的变化规律. (2)斜率范围与倾斜角范围的转化，此时要结合y＝tan x在??2??2?【分层训练】

【基础巩固题组】(建议用时：35分钟) 一、选择题