专题8.1 直线与方程 2020届高考数学一轮复习提分专题Word版含解析

第八篇 平面解析几何 专题8.01 直线与方程

【考试要求】

1.在平面直角坐标系中，结合具体图形，确定直线位置的几何要素； 2.理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式；

3.掌握确定直线位置的几何要素，掌握直线方程的几种形式(点斜式、两点式及一般式)，了解斜截式与一次函数的关系. 【知识梳理】 1.直线的倾斜角

(1)定义：当直线l与x轴相交时，我们取x轴作为基准，x轴正向与直线l向上方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角；

(2)规定：当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0； (3)范围：直线的倾斜角α的取值范围是[0，π). 2.直线的斜率

π

(1)定义：当直线l的倾斜角α≠时，其倾斜角α的正切值tan α叫做这条直线的斜率，斜率通常用小写字母

2k表示，即k＝tanα；

y2－y1

(2)斜率公式：经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式为k＝.

x2－x13.直线方程的五种形式

名称 斜截式 点斜式 两点式 几何条件 纵截距、斜率 过一点、斜率 过两点 方程 y＝kx＋b 与x轴不垂直的直线 y－y0＝k(x－x0) y－y1x－x1＝ y2－y1x2－x1xy＋＝1 abAx＋By＋C＝0 一般式

(A2＋B2≠0) 所有直线 与两坐标轴均不垂直的直线 不过原点且与两坐标轴均不垂直的直线 适用条件 截距式 纵、横截距 【微点提醒】

1.直线的斜率k和倾斜角α之间的函数关系：

2.求直线方程时要注意判断直线斜率是否存在；每条直线都有倾斜角，但不一定每条直线都存在斜率. 3.截距为一个实数，既可以为正数，也可以为负数，还可以为0，这是解题时容易忽略的一点. 【疑误辨析】

1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”) (1)直线的倾斜角越大，其斜率就越大.( ) (2)直线的斜率为tan α，则其倾斜角为α.( ) (3)斜率相等的两直线的倾斜角不一定相等.( )

(4)经过任意两个不同的点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线都可以用方程(y－y1)(x2－x1)＝(x－x1)(y2－y1)表示.( )

【答案】 (1)× (2)× (3)× (4)√ 【解析】

(1)当直线的倾斜角α1＝135°，α2＝45°时，α1＞α2，但其对应斜率k1＝－1，k2＝1，k1＜k2. (2)当直线斜率为tan(－45°)时，其倾斜角为135°. (3)两直线的斜率相等，则其倾斜角一定相等. 【教材衍化】

2.(必修2P89B5改编)若过两点A(－m，6)，B(1，3m)的直线的斜率为12，则直线的方程为________. 【答案】 12x－y－18＝0

3m－6【解析】 由题意得＝12，解得m＝－2，∴A(2，6)，

1＋m∴直线AB的方程为y－6＝12(x－2)，整理得12x－y－18＝0.

3.(必修2P100A9改编)过点P(2，3)且在两坐标轴上截距相等的直线方程为________. 【答案】 3x－2y＝0或x＋y－5＝0

【解析】 当纵、横截距均为0时，直线方程为3x－2y＝0；

xy23

当纵、横截距均不为0时，设直线方程为＋＝1，则＋＝1，解得a＝5.所以直线方程为x＋y－5＝0.

aaaa

【真题体验】

4.(2019·济南调研)直线x－y＋1＝0的倾斜角为( ) A.30° 【答案】 B

【解析】 由题得，直线y＝x＋1的斜率为1，设其倾斜角为α，则tan α＝1，又0°≤α＜180°，故α＝45°. 5.(2019·广东七校联考)若过点P(1－a，1＋a)和Q(3，2a)的直线的倾斜角为钝角，则实数a的取值范围是( ) A.(－2，1) C.(－∞，0) 【答案】 A

2a－1－aa－1【解析】 由题意知<0，即<0，解得－2

3－1＋a2＋a

6.(2018·兰州模拟)已知直线l过点P(1，3)，且与x轴、y轴的正半轴所围成的三角形的面积等于6，则直线l的方程是( ) A.3x＋y－6＝0 C.3x－y＝0 【答案】 A

xy

【解析】 设直线l的方程为＋＝1(a>0，b>0).

ab13

＋＝1，?ab?a＝2，

由题意得解得?

1?b＝6.?ab＝6，2

B.x＋3y－10＝0 D.x－3y＋8＝0

B.(－1，2)

D.(－∞，－2)∪(1，＋∞)

B.45°

C.120°

D.150°

?

??

xy

故直线l的方程为＋＝1，即3x＋y－6＝0.

26【考点聚焦】

考点一 直线的倾斜角与斜率

?π，π??的倾斜角的取值范围是( ) 【例1】 (1)直线2xcos α－y－3＝0?α∈??63??

ππ?A.??6，3? ππ?C.??4，2?

ππ?B.??4，3? π2π?D.??4，3?

(2)(一题多解)(经典母题)直线l过点P(1，0)，且与以A(2，1)，B(0，3)为端点的线段有公共点，则直线l

斜率的取值范围为________.

【答案】 (1)B (2)(－∞，－3]∪[1，＋∞)

【解析】 (1)直线2xcos α－y－3＝0的斜率k＝2cos α， ππ?13，，所以≤cos α≤， 因为α∈??63?22因此k＝2cos α∈[1，3].

设直线的倾斜角为θ，则有tan θ∈[1，3]. ππ?

又θ∈[0，π)，所以θ∈??4，3?， ππ?即倾斜角的取值范围是??4，3?.

(2)法一 设PA与PB的倾斜角分别为α，β，直线PA的斜率是kAP＝1，直线PB的斜率是kBP＝－3，当直线l由PA变化到与y轴平行的位置PC时，它的倾斜角由α增至90°，斜率的取值范围为[1，＋∞).

当直线l由PC变化到PB的位置时，它的倾斜角由90°增至β，斜率的变化范围是(－∞，－3]. 故斜率的取值范围是(－∞，－3]∪[1，＋∞). 法二 设直线l的斜率为k，则直线l的方程为 y＝k(x－1)，即kx－y－k＝0.

∵A，B两点在直线l的两侧或其中一点在直线l上， ∴(2k－1－k)(－3－k)≤0，

即(k－1)(k＋3)≥0，解得k≥1或k≤－3.

即直线l的斜率k的取值范围是(－∞，－3]∪[1，＋∞).

【迁移探究1】 若将例1(2)中P(1，0)改为P(－1，0)，其他条件不变，求直线l斜率的取值范围. 【答案】见解析

【解析】设直线l的斜率为k，则直线l的方程为 y＝k(x＋1)，即kx－y＋k＝0.

∵A，B两点在直线l的两侧或其中一点在直线l上， ∴(2k－1＋k)(－3＋k)≤0，