2018学年数学人教A版选修2-2优化复习：第一章 章末优化总结

2

则y0＝2x30－3x0，且切线斜率为k＝6x0－3， 2所以切线方程为y－y0＝(6x0－3)(x－x0)，

32因此t－y0＝(6x20－3)(1－x0)，整理得4x0－6x0＋t＋3＝0.

设g(x)＝4x3－6x2＋t＋3，

则“过点P(1，t)存在3条直线与曲线y＝f(x)相切”等价于“g(x)有3个不同零点”． g′(x)＝12x2－12x＝12x(x－1)． g(x)与g′(x)的情况如下：

x g′(x) g(x) (－∞，0) ＋ ↗ 0 0 t＋3 (0,1) － ↘ 1 0 t＋1 (1，＋∞) ＋ ↗ 所以，g(0)＝t＋3是g(x)的极大值，g(1)＝t＋1是 g(x)的极小值．

当g(0)＝t＋3≤0，即t≤－3时，此时g(x)在区间

(－∞，1]和(1，＋∞)上分别至多有1个零点，所以g(x)至多有2个零点． 当g(1)＝t＋1≥0，即t≥－1时，此时g(x)在区间

(－∞，0)和[0，＋∞)上分别至多1个零点，所以g(x)至多有2个零点．

当g(0)>0且g(1)<0，即－30，所以g(x)分别在区间[－1,0)，[0,1)和[1,2)上恰有1个零点．由于g(x)在区间(－∞，0)和(1，＋∞)上单调，所以g(x)分别在区间(－∞，0)和[1，＋∞)上恰有1个零点．

综上可知，当过点P(1，t)存在3条直线与曲线y＝ f(x)相切时，t的取值范围是(－3，－1)．

(3)过点A(－1,2)存在3条直线与曲线y＝f(x)相切； 过点B(2,10)存在2条直线与曲线y＝f(x)相切； 过点C(0,2)存在1条直线与曲线y＝f(x)相切．