2018学年数学人教A版选修2-2优化复习：第一章 章末优化总结

章末检测(一)

时间：120分钟 满分：150分

一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)

1．曲线y＝xex

－1

在点(1,1) 处切线的斜率等于( )

B．e D．1

A．2e C．2 解析：由y＝xex

－1

－1

－

－

得y′＝ex1＋xex1，所以曲线在点(1,1)处切线的斜率k＝y′|x＝1＝e11＋1×e1

－

＝2.故选C. 答案：C

2．二次函数y＝f(x)的图象过原点且它的导函数y＝f′(x)的图象是如图所示的一条直线，y＝f(x)

的图象的顶点在( )

A．第Ⅰ象限 C．第Ⅲ象限

B．第Ⅱ象限 D．第Ⅳ象限

解析：设f(x)＝ax2＋bx＋c，∵二次函数y＝f(x)的图象过原点，∴c＝0，∴f′(x)＝2ax＋b，由y4ac－b2bb2

＝f′(x)的图象可知，2a<0，b>0，∴a<0，b>0，∴－>0，＝－>0，故选A.

2a4a4a

答案：A

3．设函数f(x)＝ax＋3，若f′(1)＝3，则a等于( ) A．2 C．3

解析：∵f′(x)＝lim →

Δx0

B．－2 D．－3

f?x＋Δx?－f?x?

Δx

＝lim →

Δx0

a?x＋Δx?＋3－?ax＋3?

＝a，

Δx

∴f′(1)＝a＝3. 答案：C

4．若f(x)＝x2－2x－4ln x，则f(x)的单调递增区间为( ) A．(－1,0) C．(2，＋∞)

B．(－1,0)∪(2，＋∞) D．(0，＋∞)

2

42x－2x－42?x＋1??x－2?

解析：f′(x)＝2x－2－＝＝，由f′(x)＞0得x＞2.

xxx

答案：C

5．已知f(x)＝2x3－6x2＋m(m为常数)在[－2,2]上有最大值3，那么此函数在[－2,2]上的最小值为( )

A．－37 C．－5

B．－29 D．－11

解析：由f′(x)＝6x2－12x＝6x(x－2)＝0，解得x＝0或x＝2，又f(0)＝m，f(2)＝m－8， f(－2)＝m－40，所以f(x)max＝m＝3，f(x)min＝m－40＝3－40＝－37. 答案：A

6．已知f(x)＝2cos2x＋1，x∈(0，π)，则f(x)的单调递增区间是( ) π?A.??4，π? π?C.??2，π?

B.(0，π) π

0，? D.??2?解析：∵f(x)＝2cos2x＋1＝2＋cos 2x，x∈(0，π)， ∴f′(x)＝－2sin 2x. 令f′(x)>0，则sin 2x<0. 又x∈(0，π)，∴0<2x<2π. π

∴π<2x<2π，即

2答案：C

7.设函数f(x)在R上可导，其导函数为f′(x)，且函数y＝(1－的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是( )

A．函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1) B．函数f(x)有极大值f(－2)和极小值f(1) C．函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(－2) D．函数f(x)有极大值f(－2)和极小值f(2)

解析：由图可知，当x<－2时，f′(x)>0；当－22时，

f′(x)>0.由此可以得到函数在x＝－2处取得极大值，在x＝2处取得极小值，选D. 答案：D

8．由y＝－x2与直线y＝2x－3围成的图形的面积是( ) 5A. 364C. 3

32B. 3D．9

x)f′(x)

2

??y＝－x，

解析：解?得交点A(－3，－9)，B(1，－1)．

?y＝2x－3，?

如图，由y＝－x2与直线y＝2x－3围成的图形的面积 S＝?1－3(－x2)dx－?1－3(2x－3)dx

??

11321

＝－x3|－3 －(x2－3x)|－3 ＝.

33答案：B

9．下列函数中，x＝0是其极值点的函数是( ) A．f(x)＝－x3 C．f(x)＝sin x－x

B．f(x)＝－cos x 1

D．f(x)＝ x

解析：对于A，f′(x)＝－3x2≤0恒成立，在R上单调递减，没有极值点；对于B，f′(x)＝sin x，当x∈(－π，0)时，f′(x)<0，当x∈(0，π)时，f′(x)>0，故f(x)＝－cos x在x＝0的左侧区间(－π，0)内单调递减，在其右侧区间(0，π)内单调递增，所以x＝0是f(x)的一个极小值点；对于C，f′(x)1

＝cos x－1≤0恒成立，在R上单调递减，没有极值点；对于D，f(x)＝在x＝0没有定义，所以x

x＝0不可能成为极值点，综上可知，答案选B.

答案：B

π3π

10．已知函数f(x)＝asin x－bcos x在x＝时取得极值，则函数y＝f(－x)是( )

44A．偶函数且图象关于点(π，0)对称 3π

B．偶函数且图象关于点(，0)对称

23π

C．奇函数且图象关于点(，0)对称

2D．奇函数且图象关于点(π，0)对称 π

解析：∵f(x)的图象关于x＝对称，∴f(0)＝

4π

f()，∴－b＝a， 2

π

∴f(x)＝asin x－bcos x＝asin x＋acos x＝2asin(x＋)，

43π3ππ

∴f(－x)＝2asin(－x＋)＝2asin(π－x)＝2asin x.

4443π

显然f(－x)是奇函数且关于点(π，0)对称，故选D.

4答案：D

11．已知定义在实数集R上的函数f(x)满足f(1)＝2，且f(x)的导数f′(x)在R上恒有f′(x)＜1(x∈R)，则不等式f(x)＜x＋1的解集为( )

A．(1，＋∞) B．(－∞，－1) C．(－1,1)

D．(－∞，－1)∪(1，＋∞)

解析：不等式f(x)＜x＋1可化为f(x)－x＜1， 设g(x)＝f(x)－x，

由题意g′(x)＝f′(x)－1＜0，g(1)＝f(1)－1＝1，故原不等式?g(x)＜g(1)，故x＞1. 答案：A

12．函数f(x)＝(1－cos x)sin x在[－π，π]的图象大致为( )

解析：在[－π，π]上，

∵f(－x)＝[1－cos(－x)]sin(－x)＝(1－cos x) (－sin x)＝－(1－cos x)sin x＝－f(x)，

∴f(x)是奇函数，∴f(x)的图象关于原点对称，排除B. ππππ

取x＝，则f()＝(1－cos)sin＝1＞0，排除A.

2222

∵f(x)＝(1－cos x)sin x，∴f′(x)＝sin x·sin x＋(1－cos x)cos x ＝1－cos2x＋cos x－cos2x＝－2cos2x＋cos x＋1. 1令f′(x)＝0，则cos x＝1或cos x＝－.

2

2

结合x∈[－π，π]，求得f(x)在(0，π]上的极大值点为π，靠近π，选C.

3答案：C

二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中的横线上) 13．设函数f(x)在(0，＋∞)内可导，且f(ex)＝x＋ex，则f′(1)＝________. 解析：令ex＝t，则x＝ln t，所以f(x)＝ln x＋x，即 1

f′(x)＝1＋，则f′(1)＝1＋1＝2.

x答案：2 14．曲线y＝e

－5x

＋2在点(0,3)处的切线方程为________． ＋2，所以y′＝－5e

－5x

解析：因为y＝e

－5x

，所求切线的斜率为k＝y′|x＝0＝－5e0＝－5，故所

求切线的方程为y－3＝－5(x－0)，即y＝－5x＋3或5x＋y－3＝0.

答案：y＝－5x＋3或5x＋y－3＝0