2020高考数学大一轮复习第十二章概率随机变量及其分布12-6离散型随机变量的均值与方差正态分布试题理北师大

2019年

解 (1)由题意得ξ＝2,3,4,5,6， 故P(ξ＝2)＝＝，P(ξ＝3)＝＝，

P(ξ＝4)＝＝，P(ξ＝5)＝＝， P(ξ＝6)＝＝.

所以ξ的分布列为

ξ P 2 1 43 1 34 5 185 1 96 1 36(2)由题意知η的分布列为

η P 1 a a＋b＋c2 b a＋b＋c3 c a＋b＋c所以Eη＝＋＋＝，

Dη＝2·＋2·＋2·＝，

化简得?

?2a－b－4c＝0，?

??a＋4b－11c＝0.

解得a＝3c，b＝2c，故a∶b∶c＝3∶2∶1.

思维升华 离散型随机变量的均值与方差的常见类型及解题策略

(1)求离散型随机变量的均值与方差．可依题设条件求出离散型随机变量的分布列，然后利用均值、方差公式直接求解．

(2)由已知均值或方差求参数值．可依据条件利用均值、方差公式得出含有参数的方程(组)，解方程(组)即可求出参数值．

(3)由已知条件，作出对两种方案的判断．可依据均值、方差的意义，对实际问题作出判断．

2019年

(2015·四川)某市A，B两所中学的学生组队参

加辩论赛，A中学推荐了3名男生、2名女生，B中学推荐了3名男生、4名女生，两校所推荐的学生一起参加集训．由于集训后队员水平相当，从参加集训的男生中随机抽取3人、女生中随机抽取3人组成代表队． (1)求A中学至少有1名学生入选代表队的概率；

(2)某场比赛前，从代表队的6名队员中随机抽取4人参赛，设X表示参赛的男生人数，求X的分布列和均值．

解 (1)由题意，参加集训的男、女生各有6名，参赛学生全从B中学抽取(等价于A中学没有学生入选代表队)的概率为＝.

因此，A中学至少有1名学生入选代表队的概率为 1－＝.

(2)根据题意，X的可能取值为1,2,3，

P(X＝1)＝＝， P(X＝2)＝＝， P(X＝3)＝＝，

所以X的分布列为

X P 1 1 52 3 53 1 5因此，X的均值为EX＝1×P(X＝1)＋2×P(X＝2)＋3×P(X＝3)＝1×＋2×＋3×＝2.

2019年

题型二 均值与方差在决策中的应用

例3 (2016·全国乙卷)某公司计划购买2台机器，该种机器使用三年后即被淘汰．机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200元．在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元．现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得下面柱状图：

以这100台机器更换的易损零件数的频率代替1台机器更换的易损零件数发生的概率，记X表示2台机器三年内共需更换的易损零件数，n表示购买2台机器的同时购买的易损零件数． (1)求X的分布列；

(2)若要求P(X≤n)≥0.5，确定n的最小值；

(3)以购买易损零件所需费用的均值为决策依据，在n＝19与n＝20之中选其一，应选用哪个？

解 (1)由柱状图并以频率代替概率可得，一台机器在三年内需更换的易损零件数为8,9,10,11的概率分别为0.2，0.4,0.2,0.2，从而

P(X＝16)＝0.2×0.2＝0.04， P(X＝17)＝2×0.2×0.4＝0.16，

P(X＝18)＝2×0.2×0.2＋0.4×0.4＝0.24， P(X＝19)＝2×0.2×0.2＋2×0.4×0.2＝0.24， P(X＝20)＝2×0.2×0.4＋0.2×0.2＝0.2， P(X＝21)＝2×0.2×0.2＝0.08， P(X＝22)＝0.2×0.2＝0.04.

所以X的分布列为

X P 16 0.04 17 0.16 18 0.24 19 0.24 20 0.2 21 0.08 22 0.04 (2)由(1)知P(X≤18)＝0.44，P(X≤19)＝0.68， 故n的最小值为19.

2019年

(3)记Y表示2台机器在购买易损零件上所需的费用(单位：元)．

当n＝19时，EY＝19×200×0.68＋(19×200＋500)×0.2＋(19×200＋2×500)×0.08＋(19×200＋3×500)×0.04＝4 040；

当n＝20时，EY＝20×200×0.88＋(20×200＋500)×0.08＋(20×200＋2×500)×0.04＝4 080.

可知当n＝19时所需费用的均值小于n＝20时所需费用的均值，故应选n＝19. 思维升华 随机变量的均值反映了随机变量取值的平均水平，方差反映了随机变量稳定于均值的程度，它们从整体和全局上刻画了随机变量，是生产实际中用于方案取舍的重要理论依据．一般先比较均值，若均值相同，再用方差来决定．

某投资公司在2016年年初准备将1 000万元投

资到“低碳”项目上，现有两个项目供选择：

项目一：新能源汽车．据市场调研，投资到该项目上，到年底可能获利30%，也可能亏损15%，且这两种情况发生的概率分别为和；

项目二：通信设备．据市场调研，投资到该项目上，到年底可能获利50%，可能损失30%，也可能不赔不赚，且这三种情况发生的概率分别为，和.

针对以上两个投资项目，请你为投资公司选择一个合理的项目，并说明理由． 解 若按“项目一”投资，设获利为X1万元，则X1的分布列为

X1 P

300 7 9－150 2 9