2020高考数学大一轮复习第十二章概率随机变量及其分布12-6离散型随机变量的均值与方差正态分布试题理北师大

2019年

【2019最新】精选高考数学大一轮复习第十二章概率随机变量及其分布

12-6离散型随机变量的均值与方差正态分布试题理北师大

1．离散型随机变量的均值与方差

若离散型随机变量X的分布列为P(X＝ai)＝pi(i＝1,2，…r)． (1)均值

EX＝a1p1＋a2p2＋…＋arpr，均值EX刻画的是X取值的“中心位置”．

(2)方差

DX＝E(X－EX)2为随机变量X的方差，它刻画了随机变量X与其均值EX的平均偏离程度．

2．二项分布的均值、方差

若X～B(n，p)，则EX＝np，DX＝np(1－p)． 3．正态分布

(1)X～N(μ，σ2)，表示X服从参数为μ和σ2的正态分布． (2)正态分布密度函数的性质： ①函数图像关于直线x＝μ对称；

②σ(σ>0)的大小决定函数图像的“胖”“瘦”； ③P(μ－σ

P(μ－2σ

【思考辨析】

判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)

(1)随机变量的均值是常数，样本的平均数是随机变量，它不确定．( √ ) (2)随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值偏离均值的平均程度，方差或标准差越小，则偏离变量的平均程度越小．( √ )

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(3)正态分布中的参数μ和σ完全确定了正态分布，参数μ是正态分布的均值，σ是正态分布的标准差．( √ )

(4)一个随机变量如果是众多的、互不相干的、不分主次的偶然因素作用结果之和，它就服从或近似服从正态分布．( √ )

(5)均值是算术平均数概念的推广，与概率无关．( × ) 1．(教材改编)某射手射击所得环数ξ的分布列如下：

ξ P 7 8 0.1 9 0.3 10 x y 已知ξ的均值Eξ＝8.9，则y的值为( ) A．0.4 B．0.6 C．0.7 D．0.9 答案 A 解析

??x＋0.1＋0.3＋y＝1，由?

?7x＋8×0.1＋9×0.3＋10y＝8.9，?

可得y＝0.4.

2．设随机变量ξ的分布列为P(ξ＝k)＝(k＝2,4,6,8,10)，则Dξ等于( ) A．8 C．10 答案 A

解析 Eξ＝(2＋4＋6＋8＋10)＝6，

B．5 D．12

Dξ＝[(－4)2＋(－2)2＋02＋22＋42]＝8.

3．已知随机变量X＋η＝8，若X～B(10,0.6)，则随机变量η的均值Eη及方差Dη分别是( ) A．6和2.4 C．2和5.6 答案 B

解析 设随机变量X的均值及方差分别为EX，DX， 因为X～B(10,0.6)，所以EX＝10×0.6＝6，

B．2和2.4 D．6和5.6

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DX＝10×0.6×(1－0.6)＝2.4，

故Eη＝E(8－X)＝8－EX＝2，

Dη＝D(8－X)＝DX＝2.4.

4．设样本数据x1，x2，…，x10的均值和方差分别为1和4，若yi＝xi＋a(a为非零常数，i＝1,2，…，10)，则y1，y2，…，y10的均值和方差分别为________． 答案 1＋a,4

解析 ＝1，yi＝xi＋a，所以y1，y2，…，y10的均值为1＋a，方差不变仍为4. 5．某班有50名学生，一次考试的数学成绩ξ服从正态分布N(100,102)，已知P(90≤ξ≤100)＝0.3，估计该班学生数学成绩在110分以上的人数为________． 答案 10

解析 由题意知，P(ξ>110)＝＝0.2，∴该班学生数学成绩在110分以上的人数为0.2×50＝10.

题型一 离散型随机变量的均值、方差 命题点1 求离散型随机变量的均值、方差

例1 (2016·山东)甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动，每轮活动由甲、乙各猜一个成语，在一轮活动中，如果两人都猜对，则“星队”得3分；如果只有一个人猜对，则“星队”得1分；如果两人都没猜对，则“星队”得0分．已知甲每轮猜对的概率是，乙每轮猜对的概率是，每轮活动中甲、乙猜对与否互不影响，各轮结果亦互不影响．假设“星队”参加两轮活动，求： (1)“星队”至少猜对3个成语的概率；

(2)“星队”两轮得分之和X的分布列和均值EX.

解 (1)记事件A：“甲第一轮猜对”，记事件B：“乙第一轮猜对”， 记事件C：“甲第二轮猜对”，记事件D：“乙第二轮猜对”， 记事件E：“‘星队’至少猜对3个成语”． 由题意，得E＝ABCD＋BCD＋ACD＋ABD＋ABC， 由事件的独立性与互斥性，

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P(E)＝P(ABCD)＋P(BCD)＋P(ACD)＋P(ABD)＋P(ABC)

＝P(A)P(B)P(C)P(D)＋P()P(B)P(C)P(D)＋P(A)P()P(C)P(D)＋P(A)P(B)P()P(D)＋P(A)P(B)P(C)P()

＝×××＋2×??4×3×4×3＋4×3

?

12

3231

32××?＝. 43??

所以“星队”至少猜对3个成语的概率为.

(2)由题意，得随机变量X可能的取值为0,1,2,3,4,6. 由事件的独立性与互斥性，得

P(X＝0)＝×××＝， P(X＝1)＝2×＝＝，

P(X＝2)＝×××＋×××＋×××＋×××＝， P(X＝3)＝×××＋×××＝＝， P(X＝4)＝2×＝＝， P(X＝6)＝×××＝＝.

可得随机变量X的分布列为

X P 0 1 1441 5 722 25 1443 1 124 5 126 1 4所以均值EX＝0×＋1×＋2×＋3×＋4×＋6×＝. 命题点2 已知离散型随机变量的均值与方差，求参数值

例2 设袋子中装有a个红球，b个黄球，c个蓝球，且规定：取出一个红球得1分，取出一个黄球得2分，取出一个蓝球得3分．

(1)当a＝3，b＝2，c＝1时，从该袋子中任取(有放回，且每球取到的机会均等)2个球，记随机变量ξ为取出此2球所得分数之和，求ξ的分布列；

(2)从该袋子中任取(每球取到的机会均等)1个球，记随机变量η为取出此球所得分数．若Eη＝，Dη＝，求a∶b∶c.