高考数学大一轮复习第八章立体几何与空间向量8-5空间向量及其运算教师用书理苏教

2019年

【2019最新】精选高考数学大一轮复习第八章立体几何与空

间向量8-5空间向量及其运算教师用书理苏教

1.空间向量的有关概念

名称 零向量 单位向量 相等向量 相反向量 共线向量 共面向量 概念 模为0的向量 长度(模)为1的向量 方向相同且模相等的向量 方向相反且模相等的向量 表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合的向量 平行于同一个平面的向量 表示 0 a＝b a的相反向量为－a a∥b 2.空间向量中的有关定理 (1)共线向量定理

对空间任意两个向量a，b(a≠0)，b与a共线的充要条件是存在实数λ使b＝λa. (2)共面向量定理

如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在有序实数(x，y)，使p＝xa＋yb. (3)空间向量基本定理

如果三个向量e1，e2，e3不共面，那么对空间任一向量p，存在惟一的有序实数组(x，y，z)，使得p＝xe1＋ye2＋ze3. 3.空间向量的数量积及运算律 (1)数量积及相关概念 ①两向量的夹角

已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作＝a，＝b，则∠AOB

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叫做向量a，b的夹角，记作〈a，b〉，其范围是0≤〈a，b〉≤π，若〈a，b〉＝，则称a与b互相垂直，记作a⊥b. ②两向量的数量积

已知空间两个非零向量a，b，则|a||b|cos〈a，b〉叫做向量a，b的数量积，记作a·b，即a·b＝|a||b|cos〈a，b〉. (2)空间向量数量积的运算律 ①结合律：(λa)·b＝λ(a·b)； ②交换律：a·b＝b·a；

③分配律：a·(b＋c)＝a·b＋a·c. 4.空间向量的坐标表示及其应用

设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3).

数量积 共线 垂直 模 夹角 向量表示 坐标表示 a·b b＝λa(a≠0，λ∈R) a·b＝0 (a≠0，b≠0) |a| 〈a，b〉 (a≠0，b≠0) cos〈a，b〉＝a1b1＋a2b2＋a3b3 b1＝λa1，b2＝λa2，b3＝λa3 a1b1＋a2b2＋a3b3＝0 a21＋a22＋a23 a1b1＋a2b2＋a3b3a21＋a22＋a23·b21＋b22＋b23 【知识拓展】

1.向量三点共线定理：在平面中A、B、C三点共线的充要条件是：＝x＋y(其中x＋y＝1)，O为平面内任意一点.

2.向量四点共面定理：在空间中P、A、B、C四点共面的充要条件是：＝x＋y＋z(其中x＋y＋z＝1)，O为空间中任意一点. 【思考辨析】

判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)空间中任意两非零向量a，b共面.( √ )

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(2)在向量的数量积运算中(a·b)·c＝a·(b·c).( × ) (3)对于非零向量b，由a·b＝b·c，则a＝c.( × )

(4)两向量夹角的范围与两异面直线所成角的范围相同.( × ) (5)若A、B、C、D是空间任意四点，则有＋＋＋＝0.( √ ) 1.已知正四面体ABCD的棱长为a，点E，F分别是BC，AD的中点，则·的值为________. 答案 a2

解析 如图，设＝a，＝b，＝c，则|a|＝|b|＝|c|＝a，且a，b，c三向量两两夹角为60°.＝(a＋b)，＝c，

∴·＝(a＋b)·c＝(a·c＋b·c)＝(a2cos 60°＋a2cos 60°)＝a2. 2.(2016·苏州模拟)向量a＝(－2，－3,1)，b＝(2,0,4)，c＝(－4，－6,2)，下列结论正确的是________. ①a∥b，a∥c; ②a∥b，a⊥c； ③a∥c，a⊥b. 答案 ③

解析 因为c＝(－4，－6,2)＝2(－2，－3,1)＝2a， 所以a∥c.

又a·b＝(－2)×2＋(－3)×0＋1×4＝0， 所以a⊥b.

3.(教材改编)已知a＝(2,4，x)，b＝(2，y,2)，若|a|＝6，且a⊥b，则x＋y的值为________. 答案 1或－3 解析

??4＋4y＋2x＝0，

依题意得?

?4＋16＋x2＝36，??x＝－4，???y＝1.

解得或?

2019年

∴x＋y＝1或x＋y＝－3.

4.如图，在四面体O－ABC中，＝a，＝b，＝c，D为BC的中点，E为AD的中点，则＝________.(用a，b，c表示) 答案 a＋b＋c 解析 ＝＋＝＋＋4→OC ＝a＋b＋c.

5.(教材改编)正四面体ABCD的棱长为2，E，F分别为BC，AD中点，则EF的长为________. 答案

2

1

解析 ∵||2＝＝(＋＋)2 ＝＋＋＋2(·＋·＋·)

＝12＋22＋12＋2(1×2×cos 120°＋0＋2×1×cos 120°) ＝2，

∴||＝，∴EF的长为.

题型一 空间向量的线性运算

例1 (1)如图所示，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，O为AC的中点. 用，，表示，则＝________________.

→答案 ＋＋AA1

解析 ＝＝(＋)，

→∴＝＋＝(＋)＋AA1

＝＋＋.

(2)三棱锥O－ABC中，M，N分别是OA，BC的中点，G是△ABC的重心，用基向量，，表示，.

→解 ＝＋＝＋3AN

2

＝＋(－)