2019年高中数学第二章数列2.2等差数列第二课时等差数列的性质及简单应用练习新人教A版

(2)设28是新数列的第n项,则-=28,解得n=45∈N,所以28是新数列中的第45项.

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14.若关于x的方程x-x+m=0和x-x+n=0(m,n∈R且m≠n)的四个根组成首项为的等差数列,求m+n的值.

解:设x-x+m=0的两根为x1,x2, x-x+n=0的两根为x3,x4, 则x1+x2=x3+x4=1.

不妨设数列的首项为x1,则数列的第4项为x2,

2

2

22

所以x1=,x2=,公差d==.

所以中间两项分别是,.

所以x1x2=,x3x4=×=.

所以m+n=+=.

15.如果一个数列的各项都是实数,且从第二项开始,每一项与它前一项的平方差是相同的常数,则称该数列为等方差数列,这个常数叫这个数列的公方差.

(1)设数列{an}是公方差为p的等方差数列,求an和an-1(n≥2,n∈N)的关系式; (2)若数列{an}既是等方差数列,又是等差数列,证明该数列为常 数列. (1)解:由等方差数列的定义可知, -=p(n≥2,n∈N).

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(2)证明:因为{an}是等差数列,设公差为d, 则an-an-1=an+1-an=d. 又{an}是等方差数列,所以-=

-,

(an+an-1)(an-an-1)=(an+1+an)(an+1-an), 即d(an+an-1-an+1-an)=-2d=0,

2

所以d=0,即{an}是常数列.

16.在等差数列{an}中,若a4+a6+a8+a10+a12=120,则2a10-a12的值为( C ) (A)20 (B)22 (C)24 (D)28

解析:由a4+a6+a8+a10+a12=(a4+a12)+(a6+a10)+a8=5a8=120,解得a8=24,且a8+a12=2a10,则2a10-a12=a8=24,故选C.

17.给定正数p,q,a,b,c,其中p≠q,若a=pq,p,b,c,q是等差数列,则一元二次方程bx-2ax+c=0( A )

(A)无实根 (B)有两个相等实根 (C)有两个同号相异实根 (D)有两个异号实根

解析:由题意可设等差数列的公差为d,则b=p+d,c=p+2d,q=p+3d, a=pq=p(p+3d),d≠0 ,所以Δ=4a-4bc=-8d<0 ,故选A. 18.已知等差数列{an}中,ap=q,aq=p(p≠q),则ap+q= . 解析:由题设可得方程组ap+q=a1+(p+q-1)d=p+q-1-(p+q-1)=0. 答案:0

19.在等差数列{an }中,a2和a16是方程x-6x-1=0的两根,则a5+a6+a9+a12+a13= . 解析:等差数列{an}中,因为a2,a16是方程x-6x-1=0的两根,所以a2+a16=2a9=6,所以a9=3;由等差数列的性质得a5+a6+a9+a12+a13=5a9=15. 答案:15

20.已知数列{an}满足a1=3,anan-1=2an-1-1(n≥2). (1)求a2,a3,a4;

22

2

2

2

2

2

?所以

(2)求证:数列是等差数列,并写出{an}的一个通项公式.

解:(1)由anan-1=2an-1-1得an=2-.

又a1=3,所以a2=2-=,a3=2-=,a4=2-=. (2)由(1)知,当n≥2时,

an-1=1-=,

所以=,那么-=-=1.

又当n=2时,==,

所以是以为首项,1为公差的等差数列.

从而=+(n-1)×1=(n≥2),

所以当n≥2时,an=;当n=1时,a1=3也满足上式.

故数列{an}的一个通项公式为an=

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