最新版2020年高考数学二轮复习课后练习：第5讲 导数与不等式之函数的极值与最值

第5讲 导数与不等式之函数的极值与最值

题一：已知函数f (x) = (2x－x)e，以下四个结论： ①f (x) > 0的解集为{x|0 < x < 2}； ②f (?2)是极小值，f (2)是极大值； ③f (x)有最大值，但无最小值； ④f (x)有最大值，也有最小值． 其中正确的是_________． 题二：已知函数f (x) =

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xx．在下列命题中： ex①曲线y = f (x)必存在一条与x轴平行的切线； ②函数y = f (x)有且仅有一个极大值，没有极小值；

③若方程f (x)－a = 0有两个不同的实根，则a的取值范围是(?∞，)； ④对任意的x∈R，不等式f (x) <⑤若a∈(0，

1e1恒成立； 21]，则? x1，x2∈R+，可以使不等式f (x) ≥ a的解集恰为[x1，x2]； 2e其中正确命题的序号有_________．

?x?3,x?af(x)?题三：若有两个极值点，则a的取值范围为_________. ?32x?3x,x?a?题四：若函数f (x) = a(x－2)ex+lnx+

1在(0，2)上存在两个极值点，则a的取值范围为_________． x22题五：若函数f(x)?(1?x)(x?ax?b)的图象关于直线x?3对称，则f?x?的最大值是

_________.

题六：若函数f (x) = (x－1)(x+2)(x+ax+b)的图象关于直线x = 0对称，则f (x)的最小值为_______．

2

第5讲 导数与不等式之函数的极值与最值

题一：①②③．

详解：法一：由f (x) > 0可得(2x－x2)ex > 0， ∵ex > 0，∴2x－x2 > 0，∴0 < x < 2，故①正确；

f ′(x) = ex(2－x2)，由f ′(x) = 0得x = ±2，

由f ′(x) < 0得x >2或x <－2，由f ′(x) > 0得－2< x <2，

∴f (x)的单调减区间为(－∞，－2)，(2，+∞)，单调增区间为(－2，2)， ∴f (x)的极大值为f (2)，极小值为f (－2)，故②正确； ∵当x???时，f?x??0，当x???时，f?x????，

?∴f (x)无最小值，但有最大值，故③正确，④错误． 故答案为①②③．

法二：通过求导分析函数的单调性，并看函数在正负无穷处的图象走势，可得函数草图如下，通过观察图象，可知①②③正确．

题二：①②④⑤． 详解：函数f (x) =

x1?x的导数为f ′(x) =，令f ′(x) = 0，可得x = 1，故①正确； exex1e当x > 1时，f ′(x) < 0，f (x)递减，当x < 1时，f ′(x) > 0，f (x)递增， 可得f (x)在x = 1处取得极大值，且为最大值，最大值为，无极小值，故②正确；

作出函数y = f (x)的图象，若方程f (x)－a = 0有两个不同的实根，则a的取值范围是(0，)，故③错误；

对任意的x∈R，不等式f (x)≤<若a∈(0，

1e11恒成立，故④正确； e21]，由图象可得?x1，x2∈R+，可以使不等式f (x) ≥ a的解集恰为[x1，x2]， 2e故⑤正确． 故答案为①②④⑤．

题三：(??,0)?1?.

32详解：不妨令y2?x?3x，则y2??3x2?6x?3x(x?2)，该函数有两个极值点：0，2，在

(??,0)和(2,??)单调递增，在(0,2)单调递减，且有零点0，3.

32在同一坐标系内，分别画出y1?x?3，y2?x?3x的函数图象，

移动直线x?a，可得函数f(x)有两个极值点的情况为： ①当a??1时，

②当a??1时，

③当?1?a?0时，

④当a?1时，

综上所述，函数f(x)有两个极值点时，a的取值范围为(??,0)题四：(－∞，－)∪(－，－

?1?.

1)． 4e21详解：函数f (x) = a(x－2)ex+lnx+在(0，2)上存在两个极值点，

x11等价于f ′(x) = a(x－1)ex+－2在(0，2)上有两个零点，

xx1e1e