人教版九年级数学上册第22章 二次函数考点

初中数学试卷

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第22章 二次函数考点

考点1、二次函数的定义

定义： y=ax2＋ bx ＋ c （ a 、 b 、 c 是常数， a ≠ 0 ） 定义要点：①a ≠ 0 ②最高次数为2 ③代数式一定是整式

练习：

1、y=-x2，y=2x2-2/x，y=100-5 x2，y=3 x2-2x3+5,其中是二次函数的有____个。

m2?m2.当m_______时,函数y=(m+1)χ - 2χ+1 是二次函数？

考点2、二次函数的图像及性质

表达式、对称轴、顶点坐标、位置、增减性、最值、

练习：

1、已知二次函数

（1）求抛物线开口方向，对称轴和顶点M的坐标。

（2）设抛物线与y轴交于C点，与x轴交于A、B两点，求C，A，B的坐标。

（3）x为何值时，y随的增大而减少，x为何值时，y有最大（小）值，这个最大（小）值是多少？

（4）x为何值时，y<0？x为何值时，y>0？

2、直线y＝ax＋c 与抛物线y＝ax2＋bx＋c 在同一坐标系内大致的图象是……（ ）

y?123x?x?22

考点3、求抛物线解析式的三种方法

1、一般式：已知抛物线上的三点，通常设解析式y=ax2+bx+c(a≠0) 2,顶点式：已知抛物线顶点坐标（h, k），通常设抛物线解析式y=a(x-h)2+k(a≠0)

3,交点式:已知抛物线与x 轴的两个交点(x1,0)、 (x2,0),通常设解析式y=a(x-x1)(x-x2) (a≠0)

练习：

1、根据下列条件，求二次函数的解析式。

(1)、图象经过(0，0)， (1，-2) ， (2，3) 三点； (2)、图象的顶点(2，3)， 且经过点(3，1) ；

(3)、图象经过(0，0)， (12，0) ，且最高点的纵坐标是3 。 2、已知二次函数y=ax2+bx+c的最大值是2，图象顶点在直线y=x+1上，并且图象经过点（3，-6）。求a、b、c。

考点4、a，b，c符号的确定

抛物线y=ax2+bx+c的符号问题：

(1)a的符号：上正下负（2）b的符号：左同右异（3）C的符号：上正下负原点

零

（4）b2-4ac的符号：由抛物线与x轴的交点个数确定

（5）a+b+c的符号：因为x=1时,y=a+b+c,所以a+b+c的符号由x=1时，对应的y值决定。 (6)a-b+c的符号：因为x=-1时,y=a-b+c,所以a-b+c的符号由x=-1时，对应的y值决定。 (7)4a+2b+c的符号：因为x=2时,y=4a+2b+c,所以4a+2b+c的符号由x=2时，对应的y值决定。

(8)4a-2b+c的符号：因为x=-2时,y=4a-2b+c,所以4a-2b+c的符号由x=-1时，对应的y值决定。 以此类推.

练习：

１、二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，则a、b、c的符号为（ ） A、a<0,b>0,c>0 B、a<0,b>0,c<0 C、a<0,b<0,c>0 D、a<0,b<0,c<0

2、二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，则a、b、c的符号为（ ） A、a>0,b>0,c=0 B、a<0,b>0,c=0 C、a<0,b<0,c<0 D、a>0,b<0,c=0

3、二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，则a、b、c 、 △的符号为（ ） A、a>0,b=0,c>0,△>0 B、a<0,b>0,c<0,△=0 C、a>0,b=0,c<0,△>0 D、a<0,b=0,c<0,△<0

要点：熟练掌握a，b， c，△与抛物线图象的关系(上正、下负）(左同、右异)

4.抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的图象经过原点和 二、三、四象限， 判断a、b、c的符号情况：a 0,b 0,c 0.

5.抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的图象经过原点,且它的顶点在第三象限， 则a、b、c满足 的条件是：a 0,b 0,c 0.

6.二次函数y=ax2+bx+c中，如果a>0，b<0，c<0，那么这个二次函数

图象的顶点必在第 象限

要点：先根据题目的要求画出函数的草图，再根据图象以及性质确定结果（数形结合的思想）

7.已知二次函数的图像如图所示，下列结论。⑴a+b+c=0 ⑵a-b+c﹥0 ⑶abc ﹥0 ⑷b=2a

其中正确的结论的个数是（ ） A 1个 B 2个 C 3个 D 4个

要点：寻求思路时，要着重观察抛物线的开口方向，对称轴，顶点的位置，抛物线与x轴、y轴的交点的位置，注意运用数形结合的思想。

考点5、抛物线的平移

左加右减，上加下减；左右平移看自变量，上下平移看常数项。

练习：

⑴二次函数y=2x2的图象向 平移 个单位可得到y=2x2-3的图象； 二次函数y=2x2的图象向 平移 个单位可得到y=2(x-3)2的图象。 ⑵二次函数y=2x2的图象先向 平移 个单位，再向 平移 个单位可得到函数y=2(x+1)2+2的图象。

引申：y=2(x+3)2-4 y=2(x+1)2+2 （3）由二次函数y=x2的图象经过如何平移可以得到函数y=x2-5x+6的图象.

521?( x?)?y=x2-5x+6

24

2 y=x

考点6二次函数与一元二次方程的关系 1、一元二次方程根的情况与b2-4ac的关系

我们知道:代数式b2-4ac对于方程的根起着关键的作用. 2当b?4ac?0时,方程ax2?bx?c?0?a?0?有两个不相等的实数根

当b2?4ac?0时,方程ax2?bx?c?0?a?0?有两个相等的实数根: 当b2?4ac?0时,方程ax2?bx?c?0?a?0?没有实数根

2、二次函数y=ax2＋bx＋c的图象和x轴交点的横坐标，便是对应的一元二次方程ax2＋bx＋c=0的解。

3、二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点有三种情况:

51y?(x?)2?24(1)有两个交点 b2 – 4ac > 0 (2)有一个交点 b2 – 4ac= 0 (3)没有交点 b2 – 4ac< 0

若抛物线y=ax2+bx+c与x轴有交点, b2 – 4ac ≥0

练习：

(1)如果关于x的一元二次方程 x2-2x+m=0有两个相等的实数根,则m=＿＿＿＿,此时抛物线 y=x2-2x+m与x轴有＿＿＿＿个交点.

(2)已知抛物线 y=x2 – 8x +c的顶点在 x轴上,则c=＿＿＿＿.

(3)一元二次方程 3 x2+x-10=0的两个根是x1= -2 ,x2=5/3, 那么二次函数y= 3 x2+x-10与x轴的交点坐标是＿＿＿＿.

(4)已知函数y＝x2－（2m＋4）x＋m2－10与x 轴的两个交点间的距离为22，则m＝___________．

(5)若函数y＝kx2＋2（k＋1）x＋k－1与x 轴只有一个交点，求k 的值．

考点7二次函数的综合运用 例题：已知抛物线y=ax2+bx+c与抛物线y=-x2-3x+7的形状相同,顶点在直线x=1上,且顶点到x轴的距离为5,请写出满足此条件的抛物线的解析式. 解:?抛物线y=ax2+bx+c与抛物线y=-x2-3x+7的形状相同 ? a=1或-1

又?顶点在直线x=1上,且顶点到x轴的距离为5, ? 顶点为(1,5)或(1,-5) 所以其解析式为:

(1) y=(x-1)2+5 (2) y=(x-1)2-5 (3) y=-(x-1)2+5 (4) y=-(x-1)2-5 展开成一般式即可.

练习：

1．直线y＝3 x－1与y＝x－k 的交点在第四象限，则k 的范围是………………（ ）

（A）k＜

11 （B）＜k＜1 （C）k＞1 （D）k＞1或k＜1 332、若a+b+c=0,a?0,把抛物线y=ax2+bx+c向下平移 4个单位,再向左平移5个单位所到的

新抛物线的顶点是(-2,0),求原抛物线的解析式. 分析:

(1)由a+b+c=0可知,原抛物线的图象经过(1,0) (2) 新抛物线向右平移5个单位,

再向上平移4个单位即得原抛物线

3、已知二次函数y＝ax2＋bx＋c 的图象抛物线G 经过（－5，0），（0，

5），（1，6）三点，2直线l 的解析式为y＝2 x－3．（1）求抛物线G 的函数解析式； （2）求证抛物线G 与直线l 无公共点；

（3）若与l 平行的直线y＝2 x＋m 与抛物线G 只有一个公共点P，求P 点的坐标． 【分析】（1）略；

（2）要证抛物线G 与直线l 无公共点，就是要证G 与l 的解析式组成的方程无实数解； （3）直线y＝2 x＋m 与抛物线G 只有一个公共点，就是由它们的解析式组成的二元二次方程组有一个解，求出这组解，就得P 点的坐标．