（新课标）2017高考数学大一轮复习 第七章 立体几何 46 空间点、直线、平面之间的位置关系课时作业 理

课时作业46 空间点、直线、平面之间的位置关系

一、选择题

1．若直线a∥b，且a∥平面α，则b与α的位置关系是( ) A．一定平行 B．不平行 C．平行或相交 D．平行或直线在平面内

解析：注意不要遗漏直线在平面内的情况． 答案：D

2．对于任意的直线l与平面α，在平面α内必有直线m，使m与l( ) A．平行 C．垂直

B．相交 D．互为异面直线

解析：不论l∥α，l?α还是l与α相交，α内都存在直线m使得m⊥l. 答案：C

3．若空间三条直线a，b，c满足a⊥b，b∥c，则直线a与c( ) A．一定平行 C．一定是异面直线

B．一定相交 D．一定垂直

解析：两条平行线中一条与第三条直线垂直，另一条直线也与第三条直线垂直，故选D.

答案：D

4．如图所示，正方形ACDE与等腰直角三角形ACB所在的平面互相垂直，且AC＝BC＝2，∠ACB＝90°，F，G分别是线段AE，BC的中点，则AD与GF所成的角的余弦值为( )

A.C.3

63 3

B．－D．－3 63 3

解析：延长CD至点H，使DH＝1，连接HG，HF，则HF∥AD，且HF＝DA＝22，又∵GF8＋6－103

＝6，HG＝10，∴cos∠HFG＝＝.

2×6×86

答案：A

5．已知空间中有三条线段AB，BC和CD，且∠ABC＝∠BCD，那么直线AB与CD的位置关系是( )

A．AB∥CD B．AB与CD异面 C．AB与CD相交

D．AB∥CD或AB与CD异面或AB与CD相交

解析：若三条线段共面，如果AB，BC，CD构成等腰三角形，则直线AB与CD相交，否则直线AB与CD平行；若不共面，则直线AB与CD是异面直线．

答案：D

6．已知a，b，c为三条不同的直线，且a?平面M，b?平面N，M∩N＝c.①若a与b是异面直线，则c至少与a，b中的一条相交；②若a不垂直于c，则a与b一定不垂直；③若a∥b，则必有a∥c；④若a⊥b，a⊥c，则必有M⊥N.其中正确命题的个数是( )

A．0 C．2

B．1 D．3

解析：命题①③正确，命题②④错误．其中命题②中a和b有可能垂直；命题④中当b∥c时，平面M，N有可能不垂直，故选C.

答案：C 二、填空题

7．三条直线可以确定三个平面，这三条直线的公共点个数是________．

解析：因三条直线可以确定三个平面，所以这三条直线有两种情况：一是两两相交，有1个交点；二是互相平行，没有交点．

答案：0或1

8．(2016·福建六校联考)设a，b，c是空间中的三条直线，下面给出四个命题： ①若a∥b，b∥c，则a∥c； ②若a⊥b，b⊥c，则a∥c；

③若a与b相交，b与c相交，则a与c相交；

④若a?平面α，b?平面β，则a，b一定是异面直线． 上述命题中正确的命题是______(写出所有正确命题的序号)．

解析：由公理4知①正确；当a⊥b，b⊥c时，a与c可以相交、平行或异面，故②错；当a与b相交，b与c相交时，a与c可以相交、平行，也可以异面，故③错；a?α，b?β，并不能说明a与b“不同在任何一个平面内”，故④错．

答案：①

9．(2016·揭阳模拟)如图所示，在正三棱柱ABC－A1B1C1中，D是AC的中点，AA1∶AB＝2∶1，则异面直线AB1与BD所成的角为________．

解析：如图，取A1C1的中点D1，连接B1D1， 因为D是AC的中点，

所以B1D1∥BD，

所以∠AB1D1即为异面直线AB1与BD所成的角． 连接AD1，设AB＝a，

则AA1＝2a，所以AB1＝3a，B1D1＝3

a， 2

AD1＝123a＋2a2＝a. 42

所以，在△AB1D1中，由余弦定理得，

222

AB1＋B1D1－AD1

cos∠AB1D1＝ 2AB1·B1D1

＝

1＝， 23

2×3a×a2

32922

3a＋a－a44

所以∠AB1D1＝60°. 答案：60° 三、解答题

1

10．如图所示，四边形ABEF和ABCD都是直角梯形，∠BAD＝∠FAB＝90°，BC綊AD，

2

BE綊FA，G、H分别为FA、FD的中点．

12

(1)证明：四边形BCHG是平行四边形； (2)C、D、F、E四点是否共面？为什么？

11

解：(1)证明：由已知FG＝GA，FH＝HD，可得GH綊AD.又BC綊AD，∴GH綊BC，

22∴四边形BCHG为平行四边形．

1

(2)由BE綊AF，G为FA中点知，BE綊FG，

2∴四边形BEFG为平行四边形，∴EF∥BG. 由(1)知BG綊CH，∴EF∥CH， ∴EF与CH共面．

又D∈FH，∴C、D、F、E四点共面．

11．在四棱锥P－ABCD中，底面是边长为2的菱形，∠DAB＝60°，对角线AC与BD交于点O，PO⊥平面ABCD，∠PBO＝60°.

(1)求四棱锥的体积；

(2)若E是PB的中点，求异面直线DE与PA所成角的余弦值．

解：(1)在Rt△POB中，∠PBO＝60°， 因为BO＝AB·sin30°＝1，又PO⊥OB， 所以PO＝BO·tan60°＝3， 易得底面菱形的面积为23，

1

所以四棱锥P－ABCD的体积为×23×3＝2.

3

(2)取AB的中点F，连接EF，DF. 因为E是PB的中点， 所以EF∥PA，

所以∠DEF为异面直线DE与PA所成的角．

在Rt△AOB中，AO＝ABcos30°＝3＝PO，所以在Rt△POA中，PA＝6，所以EF＝因为四边形ABCD为菱形，且∠DAB＝60°， 所以△ABD为正三角形，所以BD＝2.

6. 2