Cauchy不等式在解题中的运用研究

内江师范学院本科毕业论文

设数组等构造符合的Cauchy不等式形式及条件，继而达到使用解决有关问题．初看这题与Cauchy不等式毫不相干，只是一个三角最值问题．但通过巧变结构构造出了Cauchy不等式的形式及条件，从而达到解题目的．

证明 由Cauchy 不等式，得

1??1??y??1?1????sinx??cosx????2??1?????????1?1??????1?1????1???sinx??11sinx2?????12????????1??cosx??22??cosx??12????

?2?sin2x???2?2?3?22.故

ymin?3?22．

4.2 Cauchy不等式变形形式的应用

利用Cauchy不等式的变形形式，对于有些不能直接使用Cauchy不等式的式子可以更直接，更有效的解决，从而使解题过程变的更简捷．以下是Cauchy不等式的变形形式在代数不等式，三角不等式以及在函数最值问题中的广泛应用．

例7

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求证：

a2b?c?a?b2c?a?b?c2a?b?c?a?b?c，其中a,b,c为?ABC三边．

证明 设x?b?c?a,y?c?a?b,z?a?b?c，

由于a,b,c为?ABC三边，

所以

x?0,y?0,z?0且x?y?z?a?b?c,

即

xa?b?c?ya?b?c?za?b?c?1．

所以

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?222?abc1abc???????xyzb?c?ac?a?ba?b?ca?b?c?a?b?ca?b?c?a?b?c12 ???a?b?c??a?b?c，

a?b?c222??? ??当且仅当

xyza?b?c?a?b?c?a?b?c， abc即a?b?c时取等号．

评注 本题运用Cauchy不等式的变形IV进行证明． 例8 设a,b,c是正实数，求证：证明 原不等式等价于

a2b?b2c?c2a?a?b?c?4?a?b?2a?b?c．

?a?b?b2??b?c?c2??c?a?a2?4?a?b?2a?b?c，

由Cauchy不等式变形形式可得

则

?b?c?c2??c?a?a2??a?b?a?c2，

?a?b?b2??b?c?c2??c?a?a2??a?b?b22??a?b?a?c2

??a?b????b2?1?? a?c?1 ?即

a24?a?b?a?b?c，

b?b2c?c2a?a?b?c?4?a?b?2a?b?c．

评注 多次运用Cauchy不等式的变形形式进行证明．

例9 若?ABC所对应的三边长分别为a,b,c,且a?b?c?1，求证：

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a2a?b?b2b?c?c2c?a?12．

证明 因为a,b,c均为正数且a?b?c?1．由Cauchy不等式变形形式可得 则

a2a2a?b?b2b?c?c2c?a??a?b?c?2?a?b?c?2?12，

a?b?b2b?c?c2c?a?12．

例10 若a,b,c为三角形的三边长，且??0,??u?0.则

a?b?c?32??u??b?c??ua??c?a??ub??a?b??uc．

分析 通过式子变形改造，则利用Cauchy不等式变形形式，使解题过程变得简捷．其中利用熟知不等式有a2?b2?c2?ab?bc?ca．

证明 由Cauchy不等式变形形式可得

不等式左边=

a22??ab?ac??ua?b22??bc?ba??ub2?c22??ca?cb??uc

??a?b?c?2??ab?bc?ca??u?a?b?c222?2

??a?b?c? 2222??ab?bc?ca??u?a?b?c?3?ab?bc?ca?2??ab?bc?ca??u?ab?bc?ca?32??u2?

?，

即

a??b?c??ua?b??c?a??ub?c??a?b??uc?32??u．

评注 本题通过“恰当凑配”的方法，再运用Cauchy不等式的变形形式进行证明．

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例11 若?,?,?为锐角，且满足cos??cos??cos??1.求证:

?cos?cos?cos????2cos??3cos???cos?????1.

23??2证明 根据已知条件，得?cos??cos??cos???1． 由Cauchy不等式变形形式可得

?cos?cos?cos????2cos??3cos???cos??????cos??cos??cos?23???1.?2

评注 本题运用Cauchy不等式的变形III进行证明．

例12[9] x?2y?3z?4u?5v?30，求w?x2?2y2?3z2?4u2?5v2的最小值． 解 由Cauchy不等式变形形式可得

w?x?2y?3z?4u?5v??22222?x?2y?3z?4u?5v?1?2?3?4?53022

15?60.当且仅当x?y?z?u?v时等号成立．

评注 本题运用Cauchy不等式的变形II进行证明．

结束语

Cauchy不等式及其变形形式在数学中有着举足轻重的作用，它在不同的领域有着不同的表现形式．对它的应用可谓是灵活多样，这充分体现了数学的一些分支之间互相渗透，相互促进的内在联系． Cauchy不等式的应用极其广泛，在解题过程中，从不同方向考虑问题，恰当合理地应用Cauchy不等式，有助于创造性思维能力的培养和创新意识的提高．上述Cauchy不等式及其变形形式的证明和应用是我们进行“数学探究”的极好材料，正是使用了Cauchy不等式及其变形形式才使得题目能简洁的证出，对于培养思维品质，领悟数学方法，促进创造性思维有极大帮助．从Cauchy不等式及其变形形式的应用可以了解到，熟练掌握Cauchy不等式是非常有意义的．因此，我们应该将Cauchy不等式及其变形形式应用到实际中，巧妙简洁的解决问题，从而提高学习兴趣．

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